[논문 리뷰] Invariant measures on the circle and functional equations

Christopher Deninger|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 28.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 해석적 함수, 특히 네바린나 클래스와 일반화된 하디 공간에서의 허근 함수에 대한 함수방정식을 통해 단위 원판 $\mathbb{T}$ 위의 $\varphi_N$-불변 확률측도를 연구한다. 비상수 해가 존재하는 함수방정식 $f(z^N)^N = \prod_{\zeta^N=1} f(\zeta z)$의 해는 특이 내부 함수의 몫임을 증명하며, 서로소인 $N$들로 생성되는 모노이드를 이용해 다중 엔도모르피즘 $\varphi_N$과 $\varphi_M$에 대한 동시에 불변성을 특별히 정의된 해석적 공간과 유사한 전측도 공간 간의 이형사상으로 기술한다. 이는 $\kappa_s$-변동이 유계인 전측도와의 연결을 통해 이루어지며, 특히 $s=1$일 경우 해석적 해석에 대한 특성화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

It is well known that real measures on the circle are characterized by their Herglotz transform, an analytic function in the unit disc. Invariance of the measure under N-multiplication translates into a functional equation for the Herglotz transform. Using elements from the theory of Hardy spaces one gets a somewhat surprising condition for a sequence of complex numbers to be the Fourier coefficients of an N-invariant measure. Next, starting from any atomless measure on the circle we construct atomless premesures of bounded kappa-variation in the sense of Korenblum which are invariant under s given pairwise prime integers. The relevant function kappa is a generalized entropy function depending on s. The proof uses Korenblum's generalized Nevanlinna theory. Passing to "kappa-singular measures" and extending these to elements in a Grothendieck group of possibly unbounded measures on the circle, one obtains generalized invariant measures which are carried by "kappa-Carleson" sets. The range of this construction depends on interesting questions about cyclicty in growth algebras of analytic functions on the unit disc. We also describe some very formal relations with Witt vectors. For example the Artin-Hasse p-exponential "is" a p-invariant premeasure of bounded kappa_1 variation.

연구 동기 및 목표

• 단위 원판 $\mathbb{T}$ 위의 $\varphi_N$-불변 확률측도를 해석적 함수의 함수방정식을 통해 특성화하는 것.
• 네바린나 클래스 $\mathcal{N}$ 내에서 함수방정식 $f(z^N)^N = \prod_{\zeta^N=1} f(\zeta z)$의 해 구조를 이해하는 것.
• 서로소인 $N$과 $M$에 대해 다중 엔도모르피즘 $\varphi_N$과 $\varphi_M$에 대한 동시에 불변성을 분석하고, 이러한 $N$들로 생성되는 모노이드를 활용하는 것.
• 해석적 해가 $\kappa_s$-변동이 유계인 일반화된 전측도 공간과 어떻게 연결되는지 분석하며, 특히 $s=1$일 경우 $\Psi_{{\mathcal{S}}}$ 및 $\Phi_{{\mathcal{S}}}$ 사상으로 인해 해석적 대응을 특성화하는 것.
• 특정 정수함수 $E_N = \exp(\sum_{\nu=0}^\infty z^{N^\nu}/N^\nu)$가 비측도 전측도의 위어스트라스 변환으로 나타나며, 이 함수의 $p$-적분성과 멱등성(자기곱)을 증명하는 것.

제안 방법

• 논문은 각 측도 $\mu$에 대해 $f_\mu = \exp(-h_\mu)$를 정의하는 허글로츠 변환 $h_\mu(z) = \int_{\mathbb{T}} \frac{\zeta + z}{\zeta - z} d\mu(\zeta)$를 사용하여 $\mathbb{T}$ 위의 해석적 함수를 측도와 연결한다. 이는 측도의 불변성과 함수방정식 간의 연관성을 제공한다.
• 측도 $\mu$가 $\varphi_N$-불변임은 네바린나 클래스 $\mathcal{N}$ 내에서 $f = f_\mu$에 대해 함수방정식 $f(z^N)^N = \prod_{\zeta^N=1} f(\zeta z)$를 만족하는 것과 동치임을 증명한다.
• 서로소 정수들로 구성된 곱셈 반군 $\mathcal{S}$에 대해 모든 $N \in \mathcal{S}$에 대해 함수방정식을 만족하는 함수의 공간 $H^0(\mathcal{S}, \mathcal{O}^1)$을 연구하며, 상호 역인 이형사상 $\Psi_{\mathcal{S}}$와 $\Phi_{\mathcal{S}}$를 정의한다. 여기서 $\Phi_{\mathcal{S}}(f)(z) = f(z)/f(z^N)$이고 $\Psi_{\mathcal{S}}(\alpha)(z) = \prod_{\nu=0}^\infty \alpha(z^{N^\nu})$이다.
• 성장 추정 $|g(z)| \leq a_g \exp(r_g \log^s(1 - |z|)^{-1})$로 정의된 일반화된 성장 클래스 $\mathcal{N}_s$를 도입하고, $\Psi_{\mathcal{S}}(Z(\mathcal{S}, \mathcal{N}^1)) \subset H^0(\mathcal{S}, \mathcal{N}^1_s)$임을 증명하여 해석적 성장과 측도의 특이성 간의 연결을 확립한다.
• 코렌블룸 이론을 적용하여 $\mathcal{N}^1_s$의 원소를 $\kappa_s$-변동이 유계인 실수 전측도로 식별하며, 이를 통해 $\varphi_N$-불변 전측도를 특성화한다.
• 비측도 전측도 $\mu$에 대한 위어스트라스 변환으로서 함수 $E_N = \exp(\sum_{\nu=0}^\infty z^{N^\nu}/N^\nu)$의 구성은 핵심적이다. 이때 $w(\mu) = E_N$이며, $\mu$가 원자 없는 $N$-불변, 멱등, 부호 측도가 아니라는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 $N \geq 2$에 대해 네바린나 클래스 $\mathcal{N}$ 내의 어떤 해석적 함수가 함수방정식 $f(z^N)^N = \prod_{\zeta^N=1} f(\zeta z)$를 만족하며, 그 해의 구조는 어떠한가?
• RQ2 서로소 정수 $N_1, \dots, N_s$로 생성되는 곱셈 반군 $\mathcal{S}$에 대해 함수방정식의 해 공간은 어떻게 특성화될 수 있으며, $\Psi_{\mathcal{S}}$ 및 $\Phi_{\mathcal{S}}$ 이형사상의 역할은 무엇인가?
• RQ3 해석적 함수가 $\mathcal{N}^1_s$에 속할 때 그에 대응하는 전측도의 $\kappa_s$-변동과의 관계는 어떠한가?
• RQ4 함수 $E_N = \exp(\sum_{\nu=0}^\infty z^{N^\nu}/N^\nu)$는 전측도의 위어스트라스 변환으로서 실현될 수 있는가? 그리고 그 전측도의 성질은 무엇인가?
• RQ5 다음 조건을 만족하는 비측도 전측도 $\mu$가 $\mathbb{T}$ 위에 존재하는가? $\mu$는 $\varphi_N$-불변이며, $\mu * \mu = \mu$이며, $w(\mu) = E_N$이다.

주요 결과

• 함수방정식 $f(z^N)^N = \prod_{\zeta^N=1} f(\zeta z)$를 만족하는 네바린나 클래스 $\mathcal{N}$ 내의 영이 아닌 모든 함수 $f$는 특이 내부 함수의 몫이다. 블라시케 곱과 외부 함수는 상수일 경우를 제외하고는 이 방정식을 만족할 수 없다.
• $\Psi_{\mathcal{S}}: Z(\mathcal{S}, \mathcal{N}^1) \to H^0(\mathcal{S}, \mathcal{N}^1_s)$는 잘 정의되어 있으며, $\mathcal{N}^1_s$의 성장 추정 $|g(z)| \leq a_g \exp(r_g \log^s(1 - |z|)^{-1})$에 의해 정의된다.
• $s=1$일 경우, 클래스 $\mathcal{N}^1_1$은 지수 성장 $O((1 - |z|)^{-r})$을 가지며, $\kappa_1(x) = x(1 + |\log x|)$에 의해 정의되는 $\kappa_1$-변동이 유계인 전측도와 일치한다.
• $E_N = \exp(\sum_{\nu=0}^\infty z^{N^\nu}/N^\nu)$는 원환구 곱셈 $\odot$에 대해 $p$-적분성과 멱등성을 가지며, 고유한 전측도 $\mu$에 대해 $w(\mu) = E_N$를 만족한다. 이때 $\mu$는 $P^+_{\kappa_1}(\mathbb{T}) \cap P^-_{\kappa_1}(\mathbb{T})$에 속하며, $N_*\mu = \mu$이고 $\mu * \mu = \mu$이다.
• 전측도 $\mu$는 원자 없이 $\varphi_N$-불변이며, 부호 측도가 아니다. 그 허글로츠 변환은 $h_\mu(z) = -2 \sum_{\nu=0}^\infty z^{N^\nu}$이며, $f_\mu = \exp(-h_\mu) = \prod_{\nu=0}^\infty \exp(2z^{N^\nu})$는 $\mathcal{A}_1$의 단위이지만 $\mathcal{N}$에는 속하지 않는다.
• $\kappa_1$-특이 측도 $\mu_s = \sigma_{f_\mu}$는 영이 되며, $\mu$가 부호 측도일 수 없는 이유는 그에 대응하는 함수 $\sigma = \Phi_{\mathcal{S}}(\mu)$가 절대 연속이기 때문이며, 이는 측도로서의 특이성 조건과 모순된다.