[논문 리뷰] Invariant Nonrecurrent Fatou Components of Automorphisms of $C^2$

Daniel C. Jupiter, Krastio Lilov|ArXiv.org|2003. 09. 16.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 ℂ²의 호로모르픽 자기사상에서의 불변 비반복 피터슨 성분을 조사하며, 반복 과정에서의 극한 사상의 구조에 초점을 맞춘다. 여러 상수 극한 사상이 존재할 경우 그 상의 이미지들이 경계에 있어서 비가чёт, 완전한 집합을 이룬다는 것을 증명한다. 이는 잼비안 스펙트럼에서 특정한 비디오판트로 타입의 회전 수가 필요하다. 비상수 랭크-1 극한 사상의 경우 그 이미지는 서로 겹치는 부분이 없거나, 열린 부분에서만 겹치는 임베딩된 다양체이다.

ABSTRACT

We examine invariant nonrecurrent Fatou components of automorphisms of $\mathbb{C}^2$ in the case where all limit maps are constant. We show that except in special cases there cannot be more than one such limit map. We also briefly examine such Fatou components where the limit maps may be nonconstant. Lastly we present a few examples of such Fatou components.

연구 동기 및 목표

• ℂ²의 호로모르픽 자기사상에서의 불변 비반복 피터슨 성분의 구조를 분류하는 것.
• 그러한 성분에서 반복 과정에서 유도된 극한 사상—상수(랭크 0) 및 비상수(랭크 1)—의 성격을 분석하는 것.
• 특히 여러 극한 사상이 존재할 경우 그 집합에 대한 위상수학적 및 역학적 제약 조건을 규명하는 것.
• 다항식 자기사상이 이러한 성분을 가질 수 있는지 여부를 규명하는 조건을 설정하는 것.
• 이러한 역학적 행동을 보이는 맵의 구체적 예를 구성하는 것.

제안 방법

• 고정점 집합 근처의 역학을 분석하기 위해 피터슨 성분 Ω 내에 F-불변 곡선을 구성하는 것.
• 정규 가족과 수렴 정리의 응용을 통해 {Fⁿ|Ω}의 부분수열로부터 극한 사상 h: Ω → ℂ²를 추출하는 것.
• 고유값이 디오판틴 조건을 만족할 경우, 불변 다양체 이론을 활용해 수직 가닥의 다양체를 구성하는 것.
• 랭크-1 극한 사상의 이미지를 ∂Ω 내의 임베딩된 복소다양체로 간주하고, 해석적 계속 기법을 사용하는 것.
• 특정 예제에서 극한 사상이 w축으로 전사임을 보이기 위해 원리의 응용을 사용하는 것.
• 좌표 변환과 점근 전개를 활용해 반복 과정에서 좌표의 성장률을 추정하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℂ²의 불변 비반복 피터슨 성분에서 두 개 이상의 상수 극한 사상이 존재할 수 있는 역학적 조건은 무엇인가?
• RQ2 여러 상수 극한 사상이 존재하기 위해 충족되어야 할 위상수학적 및 스펙트럼 조건은 무엇인가?
• RQ3 비상수 랭크-1 극한 사상의 이미지는 피터슨 성분의 경계 내에서 어떻게 교차하는가?
• RQ4 ℂ²의 다항식 자기사상은 두 개 이상의 랭크-0 극한 사상이 존재하는 불변 비반복 피터슨 성분을 가질 수 있는가?
• RQ5 예제에서 회전 수 θ는 극한 사상의 수와 성격을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 두 개 이상의 상수 극한 사상이 존재할 경우, 그들의 이미지 집합은 비가산이며 고립점이 없다.
• 상수 극한 사상의 이미지는 F의 고정점 집합의 일차원 부분다양체에 속하며, 이는 ∂Ω에 포함된다.
• 여러 상수 극한 사상이 존재하기 위해서는 F의 도함수의 고유값이 1과 e^{i2πθ}여야 하며, 이때 θ는 비디오판트로 타입이어야 한다.
• 랭크-1 극한 사상의 경우 그 이미지는 ∂Ω 내의 임베딩된 복소다양체이며, 서로 겹치는 부분이 없거나 각 다양체의 열린 부분집합에서만 겹친다.
• 구성된 예제에서 극한 사상 h: Ω → ℂ²는 랭크 1이며, 컴acts 부분집합에서 균일 수렴하며, w축으로 전사적이다.
• 다항식 자기사상은 랭크-0 극한 사상이 두 개 이상 존재하는 불변 비반복 피터슨 성분을 가질 수 없다. 이러한 성분은 헤논 맵에서만 존재한다.