[논문 리뷰] Invariant random subgroups of linear groups

Tsachik Gelander, Yair Glasner|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 10.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 42인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 기약적이고 중심이 없는 자리스키 닫힘을 가진 가산 비아메니블린 선형군에 대해, 모든 비자명한 불변 랜덤 부분군(invariant random subgroup, IRS)이 거의 확실히 열린 부분군으로 이루어져 있으며, 그 IRS 공간 위에서 자유 부분군의 작용이 확률 공간의 동형사상(induces an isomorphism)을 유도함을 밝힌다. 핵심 결과는 이러한 IRS가 자유 부분군과의 교차에서 무한 생성 부분군으로서 지지됨을 보여주며, IRS의 구조는 환경군 위의 비산만한 군 위상에 의해 규정됨을 시사한다.

ABSTRACT

Let $Γ< \mathrm{GL}_n(F)$ be a countable non-amenable linear group with a simple, center free Zariski closure, $\mathrm{Sub}(Γ)$ the space of all subgroups of $Γ$ with the, compact, metric, Chabauty topology. An invariant random subgroup (IRS) of $Γ$ is a conjugation invariant Borel probability measure on $\mathrm{Sub}(Γ)$. An $\mathrm{IRS}$ is called nontrivial if it does not have an atom in the trivial group, i.e. if it is nontrivial almost surely. We denote by $\mathrm{IRS}^{0}(Γ)$ the collection of all nontrivial $\mathrm{IRS}$ on $Γ$. We show that there exits a free subgroup $F < Γ$ and a non-discrete group topology $\mathrm{St}$ on $Γ$ such that for every $μ\in \mathrm{IRS}^{0}(Γ)$ the following properties hold: (i) $μ$-almost every subgroup of $Γ$ is open. (ii) $F \cdot Δ= Γ$ for $μ$-almost every $Δ\in \mathrm{Sub}(Γ)$. (iii) $F \cap Δ$ is infinitely generated, for every open subgroup. (iv) The map $Φ: (\mathrm{Sub}(Γ),μ) ightarrow (\mathrm{Sub}(F),Φ_* μ)$ given by $Δ\mapsto Δ\cap F$, is an $F$-invariant isomorphism of probability spaces. We say that an action of $Γ$ on a probability space, by measure preserving transformations, is almost surely non free (ASNF) if almost all point stabilizers are non-trivial. As a corollary of the above theorem we show that the product of finitely many ANSF $Γ$-spaces, with the diagonal $Γ$ action, is ASNF. Let $Γ< \mathrm{GL}_n(F)$ be a countable linear group, $A \lhd Γ$ the maximal normal amenable subgroup of $Γ$. We show that if $μ\in \mathrm{IRS}(Γ)$ is supported on amenable subgroups of $Γ$ then in fact it is supported on $\mathrm{Sub}(A)$. In particular if $A(Γ) = \langle e angle$ then $Δ= \langle e angle, μ$ almost surely.

연구 동기 및 목표

• 기약적이고 중심이 없는 자리를스키 닫힘을 가진 가산 선형군에서 불변 랜덤 부분군(invariant random subgroup, IRS)의 구조를 이해하기 위해.
• 이러한 군에서 비자명한 IRS가 거의 확실히 열린 부분군에 지지됨을 증명하기 위해.
• IRS 공간 위에서 작용하여 확률 공간의 동형사상을 유도하는 자유 부분군의 존재를 보여주기 위해.
• 선형군의 아메니블 라디칼(amenable radical)이 모든 아메니블 IRS를 포괄함을 증명하여, 아메니블 라디칼이 자명하면 비자명한 아메니블 IRS가 존재하지 않음을 시사하기 위해.
• 유한 생성 부분군의 수열로의 근사화를 통해 이러한 결과를 유한 생성이 아닌 선형군으로 확장하기 위해.

제안 방법

• Γ의 부분군 공간에 대한 차바우티 위상(Chabauty topology)을 사용하여 부분군의 컴act 메트라이저블 공간을 정의한다.
• Γ의 부분군 공간 Sub(Γ) 위의 공액 불변 보렐 확률측도로서 불변 랜덤 부분군(invariant random subgroup, IRS) 이론을 적용한다.
• μ-거의 모든 부분군이 열린 부분군이 되도록 Γ 위에 비산만한 군 위상을 구성한다.
• 프로젝티브 다이내믹스와 매우 가까운 원소(very proximal elements)의 존재를 활용하여 군의 양호한 커버를 구축한다.
• 포incare 재진입 추정치와 독립성 원리를 적용하여 부분군의 측도 이론적 행동을 제어한다.
• Γ를 증가하는 유한 생성 부분군의 수열로 근사화하여 일반적인 경우를 유한 생성 경우로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기약적이고 중심이 없는 자리를스키 닫힘을 가진 가산 비아메니블린 선형군에서 비자명한 불변 랜덤 부분군의 구조는 어떠한가?
• RQ2 자유 부분군 F ⊂ Γ가 비자명한 IRS μ의 지지집합에서 측도론적으로 전이적(transitive)으로 작용할 수 있는가?
• RQ3 선형군에서 IRS는 어느 정도 열린 부분군이나 아메니블 부분군에 지지되는가?
• RQ4 아메니블 라디칼 A(Γ)는 Γ 위의 아메니블 IRS의 지지집합을 어떻게 제어하는가?
• RQ5 Γ 위의 비산만한 군 위상에 의해 IRS의 구조를 이해할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 비자명한 IRS μ ∈ IRS⁰(Γ)에 대해, μ-거의 모든 부분군 Δ ≤ Γ는 Γ에서 열린다.
• Γ의 자유 부분군 F < Γ가 존재하여, 모든 Δ ∈ Sub(Γ)에 대해 μ-거의 확실히 F·Δ = Γ가 성립한다.
• μ-거의 모든 Δ ∈ Sub(Γ)에 대해, F ∩ Δ는 무한 생성이다.
• Δ ↦ Δ ∩ F는 (Sub(Γ), μ)와 (Sub(F), Φ*μ) 사이의 F-불변 확률 공간 동형사상이다.
• μ ∈ IRS(Γ)가 아메니블 부분군에 지지된다면, μ는 A의 부분군 Sub(A)에 지지된다. 여기서 A는 Γ의 아메니블 라디칼이다.
• 특히 A(Γ) = ⟨e⟩이면, μ-거의 확실히 Δ = ⟨e⟩이므로, 비자명한 아메니블 IRS는 존재하지 않는다.