[논문 리뷰] Invariant subsets of scattered trees. An application to the tree alternative property of Bonato and Tardif

Claude Laflamme, Maurice Pouzet외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 05.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 산란된 트리에서 나무 대체 성질을 증명함으로써, 모든 산란된 트리가 모든 임bedding에 대해 고정되는 정점, 간선, 또는 최대 두 개의 끝으로 구성된 집합을 가지거나, 또는 그것과 등형인 무한한 수의 서로 다른 이somorphism이 존재하는 트리를 포함한다고 보여준다. 핵심 기여는 산란된 트리 내에서 불변 부분집합의 구조적 특성화이며, 이는 자동형과 임bedding에 관한 결과를 더 넓은 범위의 등형성과 임bedding 불변성의 맥락으로 확장한다. 이는 무한한 이진 트리 분할이 없는 무한 트리에 적용된다.

ABSTRACT

A tree is scattered if no subdivision of the complete binary tree is a subtree. Building on results of Halin, Polat and Sabidussi, we identify four types of subtrees of a scattered tree and a function of the tree into the integers at least one of which is preserved by every embedding. With this result and a result of Tyomkyn, we prove that the tree alternative property conjecture of Bonato and Tardif holds for scattered trees and a conjecture of Tyomkin holds for locally finite scattered trees.

연구 동기 및 목표

• 사슬 없는 트리와 산란된 트리에서 자동형 불변 요소에 대한 기존 결과를 더 넓은 임bedding의 클래스로 확장한다.
• Bonato와 Tardif가 제기한 산란된 트리에 대한 나무 대체 추측을 해결한다. 이 추측은 등형인 트리가 서로 이somorphism이거나 무한히 많은 서로 다른 이somorphism이 존재한다고 주장한다.
• 산란된 트리에서 임bedding에 의해 고정되는 끝과 광선의 구조를 규명한다. 특히 정규성, 정방향/역방향 고정, 거의 강성 있는 끝을 중심으로 다룬다.
• 모든 산란된 트리가 '안정적'이라는 것을 증명한다. 즉, 모든 임bedding에 의해 고정되는 표준 불변 부분구조를 포함한다. 이는 구조적 이분법을 확립한다.

제안 방법

• 광선을 따라 트리의 구조적 분해를 사용하며, 광선 $ C $ 위의 정점으로 인덱싱된 루트 서브트리 $ T_{x_i} $ 를 정의하고, 유한한 수의 서로 다른 등형이 아닌 루트 서브트리만 나타나면 광선을 정규로 분류한다.
• 임bedding에 의한 끝의 정방향/역방향 고정 개념을 도입하고, 모든 임bedding에 의해 정방향과 역방향 모두에서 고정되는 끝을 '거의 강성 있는 끝'으로 정의한다.
• Jung(끝 순서)와 Halin(사슬 없는 트리)의 결과를 적용하여, 모든 산란된 트리가 모든 임bedding에 의해 고정되는 사슬 없는 서브트리를 포함함을 보여준다.
• 원래 트리 $ T $ 를 국소적으로 수정하여 쌍둥이 트리 $ Twin_n $ 를 구성하며, 경로를 따라 서브트리를 교체함으로써 등형이지만 서로 이somorphism이 아닌 복사본을 생성한다.
• 레벨 함수와 경로 임bedding을 사용하여 등형 쌍둥이 간의 정점 레벨을 비교하며, $ n < m $ 일 때 $ Twin_n $ 과 $ Twin_m $ 간에 이somorphism이 존재할 수 없음을 레벨 이동 불일치성으로 증명한다.
• 레벨 비교와 경로 사상에 기반한 모순 추론을 사용하여, $ n < m $ 일 때 $ Twin_n $ 과 $ Twin_m $ 간의 이somorphism이 존재하지 않음을 보이며, 쌍둥이 간의 이somorphism이 없음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 산란된 트리가 모든 임bedding에 의해 고정되는 정점, 간선, 또는 최대 두 개의 끝으로 구성된 집합을 포함하는가?
• RQ2 모든 임bedding에 의해 정방향으로 고정되는 끝이 모든 임bedding에 의해 고정되는 광선을 포함하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 산란된 트리가 등형 트리의 동형 이소모르피즘을 제외한 유일한 경우는 언제이며, 언제는 무한히 많은 서로 다른 이somorphism이 존재하는가?
• RQ4 거의 강성 있는 끝의 구조적 성질은 무엇이며, 임bedding에 대한 고정점과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 모든 임bedding에 의해 정방향으로 고정되는 비정규 끝이 존재할 경우, 그것이 모든 임bedding에 의해 고정되는 광선을 포함하는가?

주요 결과

• 모든 산란된 트리는 모든 임bedding에 의해 고정되는 정점, 간선, 또는 최대 두 개의 끝으로 구성된 집합을 포함하며, 이는 Halin, Polat, Sabidussi의 결과를 일반화한다.
• 산란된 트리가 정확히 하나의 최대 순서 끝을 가질 경우, 그 끝은 모든 임bedding에 의해 정방향으로 고정된다.
• 산란된 트리가 정규이자 거의 강성 있는 끝을 포함할 경우, 그 끝은 모든 임bedding에 의해 점별로 고정되며, 이는 임bedding 집합이 공통 고정점을 가짐을 의미한다.
• 모든 임bedding에 의해 정방향으로 고정되는 비정규 끝을 포함하는 산란된 트리의 경우, 모든 임bedding에 의해 고정되는 광선이 존재한다.
• 산란된 트리가 등형 트리의 동형 이소모르피즘을 제외한 유일한 경우일 경우, 모든 등형 트리는 서로 이somorphism이 된다; 그렇지 않으면 서로 다른 이소모르피즘을 가진 무한히 많은 등형 트리가 존재한다.
• 경로를 따라 국소적 수정을 통해 $ Twin_n $ 트리를 구성함으로써, 서로 다른 이소모르피즘을 가진 무한히 많은 등형 트리를 생성하며, 이는 산란된 트리에 대한 나무 대체 성질을 증명한다.