[논문 리뷰] $δ$-Invariants, Inequalities of Submanifolds and Their Applications

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 07.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 139인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 기존의 스칼라 곡률 및 리치 곡률과는 다름없는 새로운 리만 기하학적 불변량인 $\delta$-불변량을 도입하여, 부분다양체의 내재적 기하와 외재적 기하 사이의 최적 부등식을 수립한다. 이 불변량들이 최소 임베딩에서 오랫동안 알려진 장애를 해결하고, 고유값 추정, 이상적인 임베딩의 분류, 복소, 접촉 및 아인슈타인 기하에서 부분다양체의 분석에 강력한 도구를 제공함을 보여준다.

ABSTRACT

The famous Nash embedding theorem was aimed for in the hope that if Riemannian manifolds could be regarded as Riemannian submanifolds, this would then yield the opportunity to use extrinsic help. However, as late as 1985 (see \cite{G}) this hope had not been materialized. The main reason for this is due to the lack of controls of the extrinsic properties of the submanifolds by the known intrinsic invariants. In order to overcome such difficulties as well as to provide answers to an open question on minimal immersions, we introduced in the early 1990's new types of Riemannian invariants, known as the $δ$-invariants or the so-called Chen invariants, different in nature from the "classical" Ricci and scalar curvatures. At the same time we also able to establish general optimal relations between the new intrinsic invariants and the main extrinsic invariants for Riemannian submanifolds. Since then many results concerning these invariants, inequalities, related subjects, and their applications have been obtained by many geometers. The main purpose of this article is thus to provide an extensive and comprehensive survey of results over this very active field of research done during the last fifteen years. Several related inequalities and their applications are presented in this survey article as well.

연구 동기 및 목표

• 부분다양체 이론에서 고전적인 내재적 불변량(예: 리치 곡률)이 외재적 불변량(예: 평균 곡률)을 제어하지 못하는 데서 비롯된 문제를 해결하기 위해.
• 나시의 임베딩 정리의 제약을 극복하기 위해, 기하학적 제약 조건을 더 잘 반영하는 새로운 내재적 불변량을 도입함으로써 실용적 기하학 분석에서의 적용을 향상시키기 위해.
• 유클리드 공간으로의 최소 등거리 임베딩에 대한 필수 조건을 규명하는 채링의 열린 문제를 해결하기 위해 $\delta$-불변량을 도입함으로써.
• 기존의 곡률 부등식을 통합하고 일반화하여 다양한 기하 설정에서 내재적 및 외재적 불변량 간의 최적 관계를 제공하기 위해.
• 복소기하, 접촉기하, 라그랑주 기하 및 애파인 기하학, 그리고 일반 상대성 이론에 이르기까지 곡률 불변량의 적용 범위를 확장하기 위해.

제안 방법

• 특정 섹션 곡률 항을 총 스칼라 곡률에서 빼는 방식으로 정의된, 스칼라 곡률 기반의 새로운 내재적 곡률 불변량인 $\delta$-불변량을 도입한다.
• 평균 곡률 $H$, 스칼라 곡률 $\tau$, 리치 곡률 등 외재적 불변량과 $\delta$-불변량을 연결하는 일반적인 최적 부등식을 수립한다.
• 부등식에서 등호가 성립하는 '이상적인 임베딩'—즉, $\delta$-부등식에서 등호를 만족하는 부분다양체—를 이용해 최적의 기하 구성 조건를 특성화한다.
• 곡률 한계를 통해 라플라스 연산자의 고유값 추정을 위해 $\delta$-불변량 프레임워크를 응용하여, 컴acts부분다양체에서의 고유값 추정을 유도한다.
• 특수한 설정—CR-부분다양체, 라그랑주 및 슬랜트 부분다양체, 워프드 프로덕트, 리만 서머전—으로 결과를 확장한다.
• DDVV 추측 및 관련 부등식을 활용하여 법선 스칼라 곡률과 부분다양체의 강성 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 곡률 불변량보다 부분다양체의 외재적 기하를 더 효과적으로 제어할 수 있는 새로운 내재적 불변량을 정의할 수 있는가?
• RQ2 부분다양체 기하학에서 $\delta$-불변량과 평균 곡률 및 기타 외재적 불변량 사이의 최적 부등식은 무엇인가?
• RQ3 $\delta$-불변량을 사용하여 복소 공간 형상에서 최소 또는 완전히 실수적 임베딩을 특성화할 수 있는가?
• RQ4 $\delta$-불변량 부등식은 컴팩트 부분다양체에서 라플라스 연산자의 스펙트럼에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 $\delta$-불변량은 아인슈타인, 등각적으로 평탄한, 접촉 기하에서 부분다양체의 강성 결과 및 분류 정리에 어떤 방식으로 향상되는가?

주요 결과

• $\delta$-불변량은 총 스칼라 곡률에서 특정 섹션 곡률 항을 빼는 방식으로 유도되며, 이로 인해 스칼라 곡률 및 리치 곡률과 본질적으로 다른 새로운 내재적 곡률 불변량의 클래스를 제공한다.
• 평균 곡률 $H$와 같은 외재적 불변량과 $\delta$-불변량 사이에 최적 부등식이 수립되었으며, 등호는 외부 공간의 정규화된 스칼라 곡률을 최소화하는 '이상적인 임베딩'을 특성화한다.
• 복소 공간 형상 $\tilde{M}^n(4\epsilon)$ 내의 순수하게 실수 부분다양체에 대해 부등식 $H^2 \geq \frac{2(n+2)}{n^2(n-1)}\tau - \frac{n+2}{n}\left[1 + \frac{3\|P\|^2}{n(n-1)}\right]\epsilon$ 가 성립하며, 특정 기하 조건에서 등호가 성립한다.
• $\delta(2)$-불변량은 특히 거의 켈러 기하에서 라그랑주 및 $CR$-부분다양체의 분류에 매우 효과적임이 입증되었다.
• 워프드 프로덕트에 대한 응용은 와핑 함수의 성장 추정을 도출하며, $\delta$-불변량 프레임워크는 부분다양체 이론에서 새로운 강성 결과를 가능하게 한다.
• 이 이론은 $\delta$-불변량에서 유도된 곡률 한계를 통해 컴팩트 부분다양체에서 라플라스 연산자의 고유값을 추정하는 체계적인 접근법을 제공한다.