[논문 리뷰] Inverse and stability theorems for approximate representations of finite groups

W. T. Gowers, O. Hatami|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 14.

Functional Equations Stability Results참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 유한군에 대한 근사 표현의 역정리 및 안정성 정리를 수립하며, 아벨 군 위의 스칼라 함수에 대한 고전적 푸리에 해석적 역정리를 비아벨 군 위의 행렬 함수로 일반화한다. 유한군 G에서 Mn(C)로의 유계 함수 f: G → Mn(C)가 큰 U2 노름을 가질 경우, 그 노름이 n의 일정한 배수 범위 내에서 차원을 가진 유니터리 표현과 상관이 있음을 보이며, 슈atten p-노름에서의 근사 표현(근사형환형)은 일관되게 진짜 표현과 가까이 있음을 보인다. 이 경우 근사 표현의 차원은 n에 가까운 값을 가진다.

ABSTRACT

The $U^2$ norm gives a useful measure of quasirandomness for real- or complex-valued functions defined on finite (or, more generally, locally compact) groups. A simple Fourier-analytic argument yields an inverse theorem, which shows that a bounded function with a large $U^2$ norm defined on a finite Abelian group must correlate significantly with a character. In this paper we generalize this statement to functions that are defined on arbitrary finite groups and that take values in M$_n(\mathbb C)$. The conclusion now is that the function correlates with a representation -- though with the twist that the dimension of the representation is shown to be within a constant of $n$ rather than being exactly equal to $n$. There are easy examples that show that this weakening of the obvious conclusion is necessary. The proof is much less straightforward than it is in the case of scalar functions on Abelian groups. As an easy corollary, we prove a stability theorem for near representations. It states that if $G$ is a finite group and $f:G o$M$_n(\mathbb C)$ is a function that is close to a representation in the sense that $f(xy)-f(x)f(y)$ has a small Hilbert-Schmidt norm (also known as the Frobenius norm) for every $x,y\in G$, then there must be a representation $ρ$ such that $f(x)-ρ(x)$ has small Hilbert-Schmidt norm for every $x$. Again, the dimension of $ρ$ need not be exactly $n$, but it must be close to $n$. We also obtain stability theorems for other Schatten $p$-norms. A stability theorem of this kind was obtained for the operator norm by Grove, Karcher and Ruh in 1974 and in a more general form by Kazhdan in 1982. (For the operator norm, the dimension of the approximating representation is exactly $n$.)

연구 동기 및 목표

• 아벨 군 위의 스칼라 함수에 대한 역정리를 임의의 유한군 위의 행렬 함수로 확장한다.
• 슈텐 p-노름에서 근사 유니터리 표현의 안정성 결과를 확립하여, 근사형환형이 일관되게 진짜 표현과 가까이 있음을 보인다.
• 행렬 함수 근사와 함께 유한군에 대한 울람의 안정성 문제를 해결하며, 특히 힐버트-슈미트 노름과 연산자 노름에서 적용한다.
• 원래 함수의 노름과 군의 구조에 따라 근사 표현의 차원이 어떻게 의존하는지 정확히 규명한다.
• 표현 이론적 도구를 사용하여, 고전적 푸리에 분석을 행렬 함수로 일반화한다.

제안 방법

• 공식 ∥f∥⁴_U2 = Ex,y,z,w tr(f(x)f(y)*f(z)f(w)*)를 통해 U2 노름을 행렬 함수로 일반화한다.
• ρ가 기약 표현을 담당하는 ˆf(ρ) = ∫_G f(x) ⊗ ρ(x) dµ(x)로 정의된 비아벨 푸리에 변환을 사용한다.
• 스펙트럼 주도성과 리드스키이 정리를 적용하여 f(x)의 특이값과 f(x)f(y)*와 같은 곱의 특이값을 연결한다.
• 슈텐 p-노름을 근사 오차를 측정하는 데 사용하며, 차원에 의존하지 않는 bound를 확보하기 위해 정규화를 수행한다.
• f가 슈텐 p-노름에서 균근형환형과 ε 이내일 경우, f(x) − ρ(x)의 노름이 작아지는 진짜 표현 ρ가 존재함을 증명한다.
• 유니터리 확장과 특이값 대체 기법을 사용하여 f로부터 근사 표현을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아벨 군 위의 스칼라 함수에 대한 고전적 U2 노름 역정리는 비아벨 유한군 위의 행렬 함수로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 큰 U2 노름을 가진 행렬 함수와 상관이 있는 표현의 적절한 차원은 무엇인가?
• RQ3 유한군의 모든 근사 유니터리 표현은 슈텐 p-노름에서 일관되게 진짜 유니터리 표현과 가까운가?
• RQ4 근사 표현의 차원은 원래 함수의 행렬 크기 n과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 모든 슈텐 p-노름에서 안정성 결과를 일관되게 확보할 수 있는가? 특히 p = 2(Hilbert-Schmidt) 및 p = ∞(연산자 노름)에서 적용 가능한가?

주요 결과

• f: G → Mn(C)가 ∥f∥∞ ≤ 1 이고 ∥f∥⁴_U2 ≥ cn 를 만족하면, 상수 c₁, c₂가 c에만 의존하는 범위 [c₁n, c₂n] 내에서 차원을 가진 유니터리 표현과 상관이 있다.
• 모든 ε > 0에 대해, f: G → U(H)가 모든 x,y에 대해 ∥f(xy) − f(x)f(y)∥_HS ≤ ε√n 를 만족하면, 모든 x에 대해 ∥f(x) − ρ(x)∥_HS ≤ 13ε√n 를 만족하는 진짜 표현 ρ가 존재한다.
• 근사 표현 ρ의 차원은 n에 일정한 배수 범위 내에 있으며, ∥f(x) − ρ(x)∥_HS의 bound는 ε에 선형적으로 의존한다.
• p ∈ [1,2]인 경우 안정성 bound는 ε에 선형적으로 의존한다; 2 < p < ∞인 경우 bound는 Cε²/ᵖ로 악화되며, p → ∞에 수렴할수록 점점 더 약해진다.
• 카르탕 측도와 유니터리 이중군 ˆG를 사용하여 결과를 컴act 군으로 일반화할 수 있으며, U2 노름과 근사 오차에 대해 동일한 bound를 유지한다.
• p > 2인 경우 증명이 붕괴되며, 이는 변형의 실수부에 대한 제어가 부족하여 bound가 ε²/ᵖ로 제한되며, ε보다 더 강한 bound를 확보할 수 없다.