[논문 리뷰] Inverse Boundary Value Problem by Partial data for the Neumann-to-Dirichlet-map in two dimensions

Oleg Imanuvilov, Günther Uhlmann외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 03.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 18인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 임의의 상대적으로 열린 부분집합 $ \widetilde{\Gamma} \subset \partial\Omega $에서 부분 Neumann-to-Dirichlet 데이터로부터 두 차원 슈뢰딩거 포텐셜 $ q \in W^{1}_{p}(\Omega) $, $ p>2 $ 의 복원 유일성을 확립한다. 복소 기하학적 옹알 솔루션과 진동 적분의 점근 분석을 사용하여, $ \widetilde{\Gamma} $ 에서의 Neumann-to-Dirichlet 사상이 $ q $ 를 유일하게 결정함을 증명하며, 더 낮은 정규성 조건과 부분 데이터 설정으로 결과를 확장한다.

ABSTRACT

For the two dimensional Schrödinger equation in a bounded domain, we prove uniqueness of determination of potentials in $W^1_p(Ω),\,\, p>2$ in the case where we apply all possible Neumann data supported on an arbitrarily non-empty open set $\widetildeΓ$ of the boundary and observe the corresponding Dirichlet data on $\widetildeΓ$. An immediate consequence is that one can uniquely determine a conductivity in $W^3_p(Ω)$ with $p>2$ by measuring the voltage on an open subset of the boundary corresponding to current supported in the same set.

연구 동기 및 목표

• 경계 부분집합 $ \widetilde{\Gamma} \subset \partial\Omega $에서의 부분 Neumann 데이터만 가용할 때, 두 차원 슈뢰딩거 방정식의 역경계값 문제에서의 유일성 확립.
• 이전 결과에서 요구하던 더 높은 정규성 조건을 초월하여, $ W^{1}_{p}(\Omega) $ 에 속하는 포텐셜 $ q $ 에 대해 유일성 결과를 확장.
• Neumann-to-Dirichlet 사상이 동일한 경계 부분집합 $ \widetilde{\Gamma} $ 에서만 정의되어도 포텐셜 $ q $ 를 유일하게 결정함을 보임.
• 최소한의 정규성 조건 하에서 제한된 전극 측정을 갖는 전기 임피던스 단층촬영(EIT)의 이론적 기초를 제공함.

제안 방법

• 특정 복소 eikonal 방정식을 만족하는 위상 함수를 갖는 슈뢰딩거 방정식에 대한 복소 기하학적 옹알(CGO) 솔루션의 구성.
• 매개수 $ \tau \to \infty $ 에서의 점근 전개를 사용하여 포텐셜 $ q $ 와 CGO 솔루션을 포함하는 진동 적분을 분석.
• 낮은 정규성 포텐셜을 부드러운 함수로 근사함으로써, 정적분과 부분 적분을 통한 정적분의 점근적 분석 및 정적분의 정적분을 통한 처리.
• 포텐셜 $ q $, CGO 솔루션 및 그 변형을 포함하는 적분 항등식 유도 → $ L^2 $-수직 조건 도출.
• 경계 적분 추정과 $ \widetilde{\Gamma} $ 에서의 진동 항의 감쇠 성질을 활용하여 점근 전개에서의 저차항 제거.
• 모순에 의한 증명: $ \widetilde{\Gamma} $ 에서 동일한 Neumann-to-Dirichlet 사상에 대응하는 두 포텐셜 $ q_1 \neq q_2 $ 이 존재한다고 가정하면, $ q \equiv 0 $ 이 되며 이는 유일성의 결과를 이끌어냄.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 상대적으로 열린 부분집합 $ \widetilde{\Gamma} \subset \partial\Omega $ 에서 제한된 Neumann-to-Dirichlet 사상으로부터 $ q \in W^{1}_{p}(\Omega) $, $ p>2 $ 의 포텐셜이 유일하게 복원될 수 있는가?
• RQ2 이전 결과에서 요구하던 $ C^2 $ 보다 낮은 정규성 조건을 갖는 포텐셜, 특히 $ p>2 $ 인 $ W^{1}_{p} $ 클래스에서의 유일성 결과가 성립하는가?
• RQ3 같은 경계 부분집합 $ \widetilde{\Gamma} $ 에서만 Neumann 입력과 Dirichlet 출력이 제한된 경우에도 포텐셜을 유일하게 복원할 수 있는가?
• RQ4 낮은 정규성 포텐셜을 포함하는 진동 적분의 점근적 행동을 제어하여 역문제에서의 유일성을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• $ \widetilde{\Gamma} \subset \partial\Omega $ 에서의 임의의 상대적으로 열린 부분집합에서의 Neumann-to-Dirichlet 사상 $ N_{q,\widetilde{\Gamma}} $ 는 $ p>2 $ 인 $ W^{1}_{p}(\Omega) $ 에 속하는 포텐셜 $ q $ 를 유일하게 결정한다.
• 증명 과정에서 두 포텐셜 $ q_1 $ 과 $ q_2 $ 가 $ \widetilde{\Gamma} $ 에서 동일한 Neumann-to-Dirichlet 사상을 갖는다면, $ \Omega $ 에 거의 어디서나 $ q_1 = q_2 $ 임을 보였다.
• 이 방법은 전류 주입(Neumann 데이터)과 전압 측정(Dirichlet 데이터)이 모두 동일한 경계 부분집합에 제한된 부분 데이터로부터의 포텐셜 복원을 가능하게 한다.
• 이 결과는 동일한 부분 데이터 가정 하에 $ W^{3}_{p}(\Omega) $, $ p>2 $ 에 속하는 전도도에 대해 역전도도 문제에서의 유일성을 암시한다.
• 낮은 정규성 클래스로의 유일성 결과 확장을 위해, $ q $ 를 부드러운 함수로 근사하고, 진동 적분의 점근 분석을 결합한 방법이 가능해졌다.
• 핵심 단계는 적분 $ \int_{\Omega} q u_1 v \, dx $ 의 점근 전개에서 주요 항이 0이 되는 것이 $ q(\widetilde{x}) = 0 $ 인 경우에만 가능하며, 이는 $ q \equiv 0 $ 으로 이어지고 따라서 유일성의 결과를 이끌어냄.