[논문 리뷰] Inverse of generalized Nevanlinna function that is holomorphic at infinity

Muhamed Borogovac|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 25.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 무한대에서 해석적이고, 그 유도 미분 $ Q'(\infty) $ 가 유계로 역행할 수 있는 조건 하에서, 일반화된 네바린나 함수 $ Q \in \mathcal{N}_\kappa(\mathcal{H}) $ 의 역함수에 대한 새로운 연산자 표현을 수립한다. 역함수 $ \hat{Q} = -Q^{-1} $ 는 두 성분 $ \hat{Q}_1 + \hat{Q}_2 $ 로 분해되며, 각 성분은 $ \mathcal{N}_{\kappa_1} $ 과 $ \mathcal{N}_{\kappa_2} $ 에 속하고, $ \kappa_1 + \kappa_2 = \kappa $ 를 만족한다. 이는 더 단순한 부분 성분을 통해 구조 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Let $\left(\mathcal{H},\left(.,. ight) ight)$ be a Hilbert space and let $\mathcal{L}\left(\mathcal{H} ight)$ be the linear space of bounded operators in $\mathcal{H}$. In this paper, we deal with $\mathcal{L}(\mathcal{H})$-valued function $Q$ that belongs to the generalized Nevanlinna class $\mathcal{N}_κ (\mathcal{H})$, where $κ$ is a non-negative integer. It is the class of functions meromorphic on $C \backslash R$, such that $Q(z)^{*}=Q(\bar{z})$ and the kernel $\mathcal{N}_{Q}\left( z,w ight):=\frac{Q\left( z ight)-{Q\left( w ight)}^{\ast }}{z-\bar{w}}$ has $κ$ negative squares. A focus is on the functions $Q \in \mathcal{N}_κ (\mathcal{H})$ which are holomorphic at $ \infty$. A new operator representation of the inverse function $\hat{Q}\left( z ight):=-{Q\left( z ight)}^{-1}$ is obtained under the condition that the derivative at infinity $Q^{'}\left( \infty ight):=\lim\limits_{z o \infty}{zQ(z)}$ is boundedly invertible operator. It turns out that $\hat{Q}$ is the sum $\hat{Q}=\hat{Q}_{1}+\hat{Q}_{2},\, \, \hat{Q}_{i}\in \mathcal{N}_{κ_{i}}\left( \mathcal{H} ight)$ that satisfies $κ_{1}+κ_{2}=κ$. That decomposition enables us to study properties of both functions, $Q$ and $\hat{Q}$, by studying the simple components $\hat{Q}_{1}$ and $\hat{Q}_{2}$.

연구 동기 및 목표

• 무한대에서 해석적인 일반화된 네바린나 함수 $ Q \in \mathcal{N}_\kappa(\mathcal{H}) $ 의 역함수에 대한 새로운 연산자 표현을 유도하는 것.
• 유도 미분 $ Q'(\infty) $ 가 유계로 역행할 수 있는 조건 하에서 $ \hat{Q} = -Q^{-1} $ 의 구조를 분석하는 것.
• $ \hat{Q} $ 를 두 개의 $ \mathcal{N}_{\kappa_i} $-클래스 함수로 분해하여 $ \kappa_1 + \kappa_2 = \kappa $ 가 되도록 하고, 스펙트럼 및 기하적 성질 분석을 용이하게 하는 것.
• 크라인 공간과 폰트리아긴 공간의 연산자 이론적 도구를 사용하여 $ \hat{Q}_1 $ 과 $ \hat{Q}_2 $ 를 구하는 구조적 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 복소수 평면에서 실수축 외에서 유리형이며, 대칭 조건 $ Q(z)^* = Q(\bar{z}) $ 를 만족하고, $ \kappa $ 개의 음의 제곱을 갖는 커널을 가진 일반화된 네바린나 클래스 $ \mathcal{N}_\kappa(\mathcal{H}) $ 의 정의를 사용하는 것.
• 크라인 공간 프레임워크에서 자기수반 연산자 $ A $, 기본 대칭 연산자 $ J $ 및 쌍 $ \Gamma, \Gamma^+ $ 를 포함한 연산자 표현을 적용하는 것.
• 해당 공간의 정상 부분공간에 대한 투영과 연산자 $ A $ 의 해저브를 사용하여 $ \hat{Q}_1(z) = \hat{S} + z\hat{G} $ 를 유도하는 것.
• 복잡한 식 (4.2) 를 직접 평가하지 않고도 $ \hat{Q}_2(z) = \hat{Q}(z) - \hat{Q}_1(z) $ 의 공식을 통해 $ \hat{Q}_2(z) $ 를 계산하는 것.
• 정상 부분공간에 대한 투영 $ P $ 와 특이 부분공간에 대한 투영 $ I-P $ 를 사용하여 해저브 및 관련 연산자의 성분을 분리하는 것.
• 크라인 공간과 관련 힐베르트 공간의 구조를 활용하여 내적과 위상수학적 구조를 정의하고, $ Q'(\infty) $ 가 유계로 역행가능하도록 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한대에서 해석적인 일반화된 네바린나 함수의 역함수는 그 유도 미분 $ Q'(\infty) $ 가 유계로 역행할 수 있을 때 어떻게 연산자 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ2 $ \hat{Q} = -Q^{-1} $ 는 음의 지수를 제어할 수 있는 더 단순한 일반화된 네바린나 함수들로 어떻게 분해되는가?
• RQ3 크라인 공간에서 연산자 이론적 구성법을 사용하여 $ \hat{Q}_1 $ 과 $ \hat{Q}_2 $ 가 명시적으로 계산될 수 있는가?
• RQ4 $ Q $ 의 음의 지수 $ \kappa $ 는 $ \hat{Q}_1 $ 과 $ \hat{Q}_2 $ 사이에 어떻게 분배되며, $ \kappa_1 $ 과 $ \kappa_2 $ 는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ5 극 취소 함수는 $ Q $ 의 영점 식별에 어떤 역할을 하는가? 그리고 $ \hat{Q}_2 $ 의 구조와는 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 조건 $ Q'(\infty) $ 가 유계로 역행가능할 때, 역함수 $ \hat{Q}(z) = -Q(z)^{-1} $ 는 $ \hat{Q} = \hat{Q}_1 + \hat{Q}_2 $ 로 분해되며, $ \hat{Q}_i \in \mathcal{N}_{\kappa_i}(\mathcal{H}) $ 이고 $ \kappa_1 + \kappa_2 = \kappa $ 를 만족한다.
• 성분 $ \hat{Q}_1(z) $ 는 명시적으로 $ \hat{S} + z\hat{G} $ 로 주어지며, $ \hat{S} $ 와 $ \hat{G} $ 는 $ Q $ 의 연산자 표현에서 유도되므로 계산에 접근 가능하다.
• 성분 $ \hat{Q}_2(z) $ 는 (4.2)의 복잡한 표현을 직접 평가하지 않고도 간접적으로 $ \hat{Q}_2(z) = \hat{Q}(z) - \hat{Q}_1(z) $ 로 계산되며, 실질적인 계산을 단순화한다.
• 예시에서 $ \hat{Q}_1(z) $ 는 지수 $ \kappa_1 = 1 $ 을 가지며, $ \hat{Q}_2(z) $ 는 지수 $ \kappa_2 = 1 $ 을 가지며, 이는 이론에 부합하는 $ \kappa_1 + \kappa_2 = \kappa = 2 $ 를 확인한다.
• $ \hat{Q}_2(z) $ 의 $ z = -1 $ 에서의 극은 $ Q(z) $ 의 영점에 해당하며, [3, 정의 3.1] 에서 정의된 극 취소 함수 $ \eta(z) = \begin{bmatrix} 1+z \\ 0 \end{bmatrix} $ 를 통해 확인된다.
• 이 방법은 각각 음의 제곱 수가 적은 두 개의 $ \mathcal{N}_{\kappa_i} $-함수로 분해함으로써 $ Q $ 와 $ \hat{Q} $ 의 구조적 분석을 가능하게 한다.