[논문 리뷰] Inverse Optimal Stopping

Thomas Kruse, Philipp Strack|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일차원 확산 과정에 대한 역 최적 정지 문제를 해결하며, 주어진 정지 시간 τ⋆가 최적일 수 있도록 하는 시간에 따라 변하는 교란 함수 π를 특성화한다. τ⋆가 시간에 따라 변하는 경계 b(t)의 첫 번째 도달 시간임을 증명하고, 반사된 확산 Ŷ를 통해 π의 닫힌 형식 표현을 유도함으로써 b(t)에 대한 새로운 적분 방정식을 도출한다.

ABSTRACT

Let $X$ be a one-dimensional diffusion and $g$ a payoff function depending on time and the value of $X$. The paper analyzes the inverse optimal stopping problem of finding a time-dependent function $\pi:[0,T] o\mathbb{R}$ such that a given stopping time $ au^{\star}$ is a solution of the stopping problem $\sup_{ au\in[0,T]}\mathbb{E}\left[g( au,X_{ au})+\pi( au) ight]$. Under regularity and monotonicity conditions, there exists a solution $\pi$ if and only if $ au^{\star}$ is the first time $X$ exceeds a time-dependent cut-off $b$, i.e. $ au^{\star}=\inf\left\{ t\ge0\,|\, X_{t}\ge b(t) ight\}\wedge T \,.$ We prove uniqueness of the solution $\pi$ and derive a closed form representation. The representation is based on the process $ ilde{X}$ which is a version of the original diffusion $X$ reflected at $b$, \[ \pi(t)=\mathbb{E}\left[\int_{t}^{T}(\partial_{t}+\mathcal{L}g)(s, ilde{X}_{s})\mathrm{d}s\,|\, ilde{X}_{t}=b(t) ight]\,. \] The results lead to a new integral equation characterizing the stopping boundary $b$ of the stopping problem $\sup_{ au\in\mathcal{T}}\mathbb{E}\left[g( au,X_{ au}) ight]$.

연구 동기 및 목표

• 주어진 정지 시간 τ⋆가 시간에 따라 변하는 지급 g(t, X_t)에 대해 최적일 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 역 문제를 해결하는 것: τ⋆가 편향된 지급 g(τ, X_τ) + π(τ)에 대해 최적인 데 유도할 수 있도록 시간에 따라 변하는 함수 π(t)를 찾는 것.
• 확산 X와 지급 g에 관해 최적 정지 경계 b(t)의 구조를 특성화하는 것.
• 반사된 확산 Ŷ를 사용하여 교란 π(t)의 닫힌 형식 표현을 도출하는 것.

제안 방법

• τ⋆가 시간에 따라 변하는 경계 b(t)의 첫 번째 도달 시간임을 가정한다. 즉, τ⋆ = inf{t ≥ 0 | X_t ≥ b(t)} ∧ T.
• 경계 행동을 분석하기 위해 b(t)에서 반사된 X의 복제판인 반사된 확산 Ŷ를 도입한다.
• ℒ가 X의 생성자일 때, π(t) = ℰ[∫_t^T (∂_t + ℒ)g(s, Ŷ_s) ds | Ŷ_t = b(t)]의 표현을 유도한다.
• g와 b에 대한 정규성 및 단조성 조건을 사용하여 π의 존재성과 유일성을 보장한다.
• τ⋆가 b(t)의 도달 시간임과 동시에 π가 존재하고 유일함을 보장한다.
• π의 표현과 최적성 조건을 조합하여 경계 b(t)에 대한 새로운 적분 방정식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 정지 시간 τ⋆가 시간에 따라 변하는 교란 π(t)를 갖는다 하더라도 지급 g(τ, X_τ)에 대해 최적성을 유지할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 역 문제에서 τ⋆를 최적으로 만들 수 있는 교란 π(t)의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 최적 정지 경계 b(t)는 확산 X와 지급 g에 대해 어떻게 특성화되는가?
• RQ4 역 문제는 반사된 확산 Ŷ를 포함하는 표현으로 축소될 수 있는가?
• RQ5 원래 최적 정지 문제에서 경계 b(t)를 지배하는 적분 방정식은 무엇인가?

주요 결과

• 정지 시간 τ⋆가 편향된 문제에서 최적이 되기 위한 필요충분조건은 시간에 따라 변하는 경계 b(t)의 첫 번째 도달 시간임을 만족하는 것이다.
• 교란 함수 π(t)는 반사된 확산 Ŷ를 따라 시간-공간 생성자에 g를 적용한 조건부 기대값을 포함하는 닫힌 형식 표현을 가진다.
• π(t) = ℰ[∫_t^T (∂_t + ℒ)g(s, Ŷ_s) ds | Ŷ_t = b(t)]의 표현은 정규성 및 단조성 조건 하에서 최적성에 대해 필수적이고 충분하다.
• 제시된 조건 하에서 해 π는 유일하다.
• 이 결과들은 원래의 편향 없이 정의된 문제에 대해 최적 정지 경계 b(t)를 특성화하는 새로운 적분 방정식을 도출한다.
• 반사된 확산 Ŷ는 π를 표현하고 역 문제와 직접 문제의 최적 정지 문제를 연결하는 데 중심적인 역할을 한다.