[논문 리뷰] Inverse Problem for Fractional-Laplacian with Lower Order Non-local Perturbations

Sombuddha Bhattacharyya, Tuhin Ghosh외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 08.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 29인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 하향 비국소적 교란항을 갖는 분수라플라스 연산자에 대한 역문제를 연구한다. 전역적이고 지역적인 분수라플라스 연산자의 조합을 고려하며, 단일 외부 측정을 통해 비국소 계수 $ b $ 와 포텐셜 $ q $ 를 복원하는 유일성을 확립한다. 딜리클레-뇌문 지도를 통해 유도된 적분 항등식과 룬게 근사법을 활용한다.

ABSTRACT

In this article, we study a model problem featuring a Lévy process in a domain with semi-transparent boundary by considering the following perturbed fractional Laplacian operator \[\mathscr{L}_{b,q} := (-Δ)^t + (-Δ)_Ω^{s/2} \ b (-Δ)_Ω^{s/2} + q, \quad 0

연구 동기 및 목표

• 유계 영역 내에서 반투명 경계를 갖는 레비 과정을 비국소적 교란항을 갖는 분수라플라스 연산자로 모델링하기.
• 연산자 $ \mathscr{L}_{b,q} $ 에 대한 직접 문제의 잘 정의됨과 정성적 성질을 확립하기.
• 외부 코시 데이터로부터 계수 $ b $ 와 $ q $ 를 복원하는 역문제를 조사하기.
• 룬게 유형 근사법과 적분 항등식을 활용하여 단일 측정으로부터 $ b $ 와 $ q $ 를 복원하는 데서의 유일성을 증명하기.

제안 방법

• 전역적이고 지역적인 비국소성을 조합하는 연산자 $ \mathscr{L}_{b,q} = (-\Delta)^t + b(-\Delta)^{s/2}_\Omega + q $ 를 정의하며, $ 0 < s < t < 1 $ 이다.
• 영역 $ \Omega $ 내에서 $ \mathscr{L}_{b,q}u = 0 $ 이고, $ \mathbb{R}^n \setminus \overline{\Omega} $ 에서 $ u = f $ 를 만족하는 딜리클레 외부값 문제를 고려하며, $ f \in \widetilde{H}^t(\Omega_e) $ 이다.
• 외부 영역의 열린 부분집합 $ \widetilde{W} \subset \Omega_e $ 에서의 뉴먼 데이터를 사용하여 계수의 차이 $ b_1 - b_2 $ 와 $ q_1 - q_2 $, 그리고 해 $ u_f $ 를 포함하는 적분 항등식을 유도한다.
• 룬게 유형 근사를 적용하여 $ (-\Delta)^{s/2}_\Omega u_f $ 와 $ u_f $ 가 $ L^2(\mathcal{O}) $ 에서 조밀함을 보이며, 여기서 $ \mathcal{O} \Subset \Omega $ 는 $ b_k, q_k $ 의 지지집합을 포함한다.
• 지역적 분수라플라스 연산자의 핵 공간 내에서 $ C_c^\infty(\Omega) $ 의 조밀성을 활용하여 $ \Omega $ 내에서 $ (q_1 - q_2)u_f = 0 $ 과 $ (b_1 - b_2)(-\Delta)^{s/2}_\Omega u_f = 0 $ 이 성립함을 유추한다.
• 유일 연속성과 지지집합이 서로 겹치지 않는 성질을 활용하여, 단일 외부 측정으로부터 $ b_1 = b_2 $ 와 $ q_1 = q_2 $ 가 $ \Omega $ 내에서 성립함을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외부 코시 데이터의 단일 측정으로 비국소 계수 $ b $ 와 포텐셜 $ q $ 를 유일하게 복원할 수 있는가?
• RQ2 전역적이고 지역적인 분수라플라스 연산자의 조합이 역문제 설정에서 룬게 유형 근사를 가능하게 하는가?
• RQ3 지역적 분수라플라스 연산자 $ (-\Delta)^{s/2}_\Omega $ 가 계수 복원을 가능하게 하는 데서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 비국소 계수 $ b $ 로 모델링된 반투명 경계 조건이 역문제의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 비국소 계수 $ b $ 와 포텐셜 $ q $ 가 모두 알려지지 않은 상태에서 단일 측정으로도 역문제를 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 연산자 $ \mathscr{L}_{b,q} $ 에 대한 역문제는 유일하게 해결 가능하다: 외부 영역의 열린 부분집합에서 뉴먼 데이터가 일치하면 $ \Omega $ 내에서 $ b_1 = b_2 $ 와 $ q_1 = q_2 $ 가 성립한다.
• 딜리클레 문제의 해 $ u_f $ 는 모든 $ f \in C_c^\infty(W) $ 에 대해 $ \Omega $ 내에서 $ (q_1 - q_2)u_f = 0 $ 과 $ (b_1 - b_2)(-\Delta)^{s/2}_\Omega u_f = 0 $ 를 만족한다.
• 지역적 $ L^2(\mathcal{O}) $ 에서의 $ (-\Delta)^{s/2}_\Omega u_f $ 의 조밀성과 룬게 근사를 결합하면 $ \Omega $ 내에서 $ b_1 = b_2 $ 를 유추할 수 있다.
• 동일한 조건 하에서 $ u_f $ 가 $ L^2(\mathcal{O}) $ 에서 조밀함을 보이므로, $ \Omega $ 내에서 $ q_1 = q_2 $ 를 유추할 수 있다.
• $ b_1 - b_2 $ 와 $ q_1 - q_2 $ 의 지지집합은 서로 겹치지 않으며, 상호 보완적일 수 없으므로, 이들이 비영일 경우 모순이 발생하므로 반드시 영함수여야 한다.
• 증명은 유일 연속성과 함께, 영역에서 경계 조건이 0이면 $ (-\Delta)^{s/2}_\Omega v = 0 $ 이면 $ v \equiv 0 $ 임을 이용하여 유일성을 보장한다.