[논문 리뷰] Inverse Problems for Matrix Exponential in System Identification: System Aliasing

Zuogong Yue, Johan Thunberg외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 23.

Control Systems and Identification참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 저속도 샘플링 조건 하에서 희소 또는 부분적으로 알려진 A-행렬을 가진 연속시간 선형 시스템의 시스템 식별 문제를 다룬다. '시스템 앨리어싱'(system aliasing)이라는 현상을 도입하여, 부족한 샘플링으로 인해 행렬 로그의 유일성의 문제가 발생함을 설명하고, 희소성 제약과 프레셰 도함수를 활용하여 A-행렬을 유한한 동치류 내에서 식별하는 방법을 제안한다. 주요 기여는 희소성과 노름 제약 조건 하에서 식별 가능성 보장하는 이론적 프레임워크를 수립하고, 앨리어징을 피하기 위한 최소 샘플링 주파수를 유도한 것이다.

ABSTRACT

This note addresses identification of the $A$-matrix in continuous time linear dynamical systems on state-space form. If this matrix is partially known or known to have a sparse structure, such knowledge can be used to simplify the identification. We begin by introducing some general conditions for solvability of the inverse problems for matrix exponential. Next, we introduce "system aliasing" as an issue in the identification of slow sampled systems. Such aliasing give rise to non-unique matrix logarithms. As we show, by imposing additional conditions on and prior knowledge about the $A$-matrix, the issue of system aliasing can, at least partially, be overcome. Under conditions on the sparsity and the norm of the $A$-matrix, it is identifiable up to a finite equivalence class.

연구 동기 및 목표

• 낮은 샘플링 주파수에서 데이터가 희소하게 수집될 경우 연속시간 선형 시스템의 A-행렬을 식별하는 데 도전하는 문제를 다루기.
• 저속도 샘플링으로 인한 행렬 로그의 비유일성 원인으로서의 '시스템 앨리어징'을 공식화하기.
• 희소성과 노름 제약 조건을 통해 A-행렬이 끝내기로 한 유한한 동치류 내에서 유일하게 식별될 수 있는 조건을 제공하기.
• 시스템 앨리어징을 피하고 역문제의 해를 보장하기 위해 최소 샘플링 주파수를 확립하기.
• 구조적 해석 가능성 향상을 위해 앨리어징된 시스템 표현들 중에서 가장 희소한 것을 선택할 수 있는 프레임워크 개발하기.

제안 방법

• e^A = P의 모든 해를 기술하기 위해 주된 매트릭스 로그(Log)와 조르당 표준형을 통한 일반화된 로그를 사용하기.
• 매트릭스 지수와 로그의 민감도를 모델링하기 위해 프레셰 도함수를 적용하여 vec(Lexp) = K(X,0)vec(E) 형태의 선형 근사 제공하기.
• 후보 A-행렬의 집합 S를 A = Ā + E (E ∈ S)로 정의하고, 스트립 G(1)을 통한 고유값 제약을 통해 유일성 확보하기.
• 동일한 e^{hA}를 가지는 해들 간의 동치류(A ∼ A') 개념을 도입하고, Z(A)의 프로베니우스 노름을 사용하여 이를 구분하기.
• 행렬 로그 해의 정수 이동 δk에 대한 경계를 이차형식과 고유값 제약 조건을 통해 유도하여 해의 유한성을 증명하기.
• 측정 행렬 D가 다양한 E 편차를 식별 과정에서 구분할 수 있도록 보장하기 위해 조건 L ∩ ker(D) = {0}을 사용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속시간 시스템 식별에서 이산시간 전이행렬의 매트릭스 로그가 언제 고유하게 정의되는가?
• RQ2 저속도 샘플링 주파수로 인해 시스템 앨리어징이 발생하는 원리와 이를 피하기 위한 최소 샘플링 주파수는 무엇인가?
• RQ3 A-행렬에 대한 희소성 제약 조건을 활용하여 매트릭스 지수 식별의 역문제에서의 비유일성을 해결할 수 있는가?
• RQ4 시스템 앨리어징이 발생할 경우 역문제의 해 집합의 구조는 어떻게 되며, 이를 유한한 동치류로 줄일 수 있는가?
• RQ5 수학적 제약 조건과 최적화를 통해 앨리어징된 표현들 중에서 가장 희소한 해를 어떻게 선택할 수 있는가?

주요 결과

• 시스템 앨리어징을 피하기 위해 필요한 최소 샘플링 주파수는 A-행렬의 스펙트럼 성질에 기반하여 유도되었다.
• A-행렬이 희소하고 노름이 유계이며, e^{hA}로부터 A를 식별하는 역문제의 해 집합은 동치류 기준으로 유한하다.
• 일반적으로 e^A = P의 서로 다른 해의 수는 가чёт수 무한히 존재하지만, 희소성과 노름 제약 조건 하에서는 유한한 수의 해만 가능하다.
• 동일한 동치류에 속하는 서로 다른 해 A와 A' 사이의 프로베니우스 노름 간격은 양수인 상한 M(Ā) > 0으로 유계이다.
• 진짜 A-행렬 주변의 유한한 노름 간격 [κl, κu] 내에서 고유한 해를 선택할 수 있으며, 이는 유한한 동치류 내에서의 식별 가능성 보장한다.
• 로그 해의 정수 이동 δk 집합은 유한하며, 고유값과 노름 제약 조건을 포함하는 이차부등식에 의해 유계이다.