[논문 리뷰] Inverse problems with second-order Total Generalized Variation constraints

Kristian Bredies, Tuomo Valkonen|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 19.

Image and Signal Denoising Methods참고 문헌 10인용 수 30

한 줄 요약

논문은 ill-posed 선형 역문제에 대한 정규화로서 2차 Total Generalized Variation (TGV^2)을 분석하고, well-posedness와 BV 동등성을 증명하며, 수치 증거를 통해 디블러링을 시연한다.

ABSTRACT

Total Generalized Variation (TGV) has recently been introduced as penalty functional for modelling images with edges as well as smooth variations. It can be interpreted as a "sparse" penalization of optimal balancing from the first up to the $k$-th distributional derivative and leads to desirable results when applied to image denoising, i.e., $L^2$-fitting with TGV penalty. The present paper studies TGV of second order in the context of solving ill-posed linear inverse problems. Existence and stability for solutions of Tikhonov-functional minimization with respect to the data is shown and applied to the problem of recovering an image from blurred and noisy data.

연구 동기 및 목표

• ill-posed 선형 역문제에 대해 TGV^2를 정규화기로서 동기부여하고 형식화한다.
• TGV^2가 적절한 공간에서 반노름이며 BV와 위상적으로 동등하다는 것을 확립한다.
• TGV^2 정규화로의 티코노프-타카의 형태 최소화 문제의 존재성 및 안정성을 증명한다.
• BD 벡터장에 의한 최소화와 Sobolev-Korn 부등식을 통해 TGV^2와 BV의 관계를 밝힌다.
• 이 이론을 디컨볼루션(디블러링) 문제에 적용하고 수치 결과로 설명한다.

제안 방법

• 2차(TGV^2)와 그 이중/샤도우-점 표현을 정의한다.
• TGV^2(u)=min_{w in BD(Ω)} α1||Du − w||_M + α0||Ew||_M (네켈-록프 duality를 통해).
• 위상적 동등성: c||u||_BV ≤ ||u||_1 + TGV^2_α(u) ≤ C||u||_BV를 보인다.
• Poincaré–Wirtinger 부등식 및 BD/소벨-코른 인수들을 이용해 강 coercivity 및 BV-동등성을 얻는다.
• Tikhonov 문제의 해의 존재성과 데이터 섭동에 대한 안정성을 보이고 약한 상대적 컴팩트성에 대해 논의한다.
• primal–dual 알고리즘에 적합한 샤도우-점 형식을 제공하고 디컨볼루션 예제(u ∗ k)에 적용한다.
• 실용 솔버로서의 프라이멀–듀얼 알고리즘을 참고한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 TGV^2가 선형 역문제에 대해 잘 정의된 정규화를 제공하는가?
• RQ2 TGV^2가 위상적으로 BV와 동등하여 BV 기반의 존재성/안정성 분석을 가능하게 하는가?
• RQ3 노이즈가 있는 데이터에서도 TGV^2 정규화로 안정적인 디블러링이 가능한가?
• RQ4 역문제에서 경계가 있는 부분과 매끄러운 영역을 다룰 때 TGV^2가 TV와 비교해 어떤 차이가 있는가?

주요 결과

• TGV^2는 공간 BGV^2(Ω)에서 반노름이다.
• TGV^2(u)=0이면 u는 차수 < 2의 다항식이다.
• TGV^2(α)와 규모가 다른 TGV^2 사이의 등가성이 존재하며, TGV^2는 회전 불변이다.
• 재샘플링 하에서의 스케일링 성질: TGV^2∘ρ_r = r^{-d} TGV^2 with α̃=(α0 r^2, α1 r).
• TGV^2는 L^p(Ω)에서 적절하고 볼록하며 하-반연속적이다.
• BGV^2(Ω)는 BV(Ω)와 위상적으로 동등하다: c||u||_BV ≤ ||u||_1 + TGV^2_α(u) ≤ C||u||_BV.
• TGV^2를 포함한 티코노프 문제의 해존재성과 데이터 섭동에 대한 안정성이 확립된다.
• TGV^2를 이용한 디블러링 문제는 해를 갖고 방법이 데이터에 대해 안정적이며, 수치적으로는 디컨볼루션 작업에서 TV보다 TGV^2가 개선된다.