[논문 리뷰] Inverse scattering transform and soliton solutions for the modified matrix Korteweg-de Vries equation with nonzero boundary conditions

Jin‐Jie Yang, Shou‐Fu Tian외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 01.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 43인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 리emann-힐베르트 문제를 사용하여 비영 boundary 조건(NZBCs)을 가진 수정된 행렬 Korteweg-de Vries(mmKdV) 방정식에 대한 역산성 변환을 개발한다. $2m\times2m$ 라크스 쌍에 대한 직접 및 역산성 프레임워크를 수립하고, 반사 없는 잠재력에 대한 재구성 공식을 유도하며, 스칼라 및 대칭 $2\times2$ 행렬 케이스에 대해 명시적인 일차 및 이차 솔리톤 해를 제시하여 NZBCs 하에서의 점점 가까운 단계 이동과 솔리톤 역학을 드러낸다.

ABSTRACT

The theory of inverse scattering is developed to study the initial-value problem for the modified matrix Korteweg-de Vries (mmKdV) equation with the $2m imes2m$ $(m\geq 1)$ Lax pairs under the nonzero boundary conditions at infinity. In the direct problem, by introducing a suitable uniform transformation we establish the proper complex $z$-plane in order to discuss the Jost eigenfunctions, scattering matrix and their analyticity and symmetry of the equation. Moreover the asymptotic behavior of the Jost functions and scattering matrix needed in the inverse problem are analyzed via Wentzel-Kramers-Brillouin expansion. In the inverse problem, the generalized Riemann-Hilbert problem of the mmKdV equation is first established by using the analyticity of the modified eigenfunctions and scattering coefficients. The reconstruction formula of potential function with reflection-less case is derived by solving this Riemann-Hilbert problem and using the scattering data. In addition the dynamic behavior of the solutions for the focusing mmKdV equation including one- and two- soliton solutions are presented in detail under the the condition that the potential is scalar and the $2 imes2$ symmetric matrix. Finally, we provide some detailed proofs and weak version of trace formulas to show that the asymptotic phase of the potential and the scattering data.

연구 동기 및 목표

• 비영 경계 조건(NZBCs) 하에서 수정된 행렬 Korteweg-de Vries(mmKdV) 방정식에 대한 역산성 변환을 개발하는 것.
• 조스트 고유함수, 산란 행렬 및 그들이 균일화된 복소 z-평면에서의 해석성으로 인한 직접 산란 문제를 수립하는 것.
• 산란 데이터로부터 잠재력을 재구성할 수 있도록, 역산성의 일반화된 리emann-힐베르트 문제를 설정하는 것.
• 스칼라 및 대칭 $2\times2$ 행렬 잠재력 하에서 집중형 mmKdV 방정식에 대한 명시적인 일차 및 이차 솔리톤 해를 도출하는 것.
• 특히 $x \to -\infty$ 일 때 잠재력과 경계값 사이의 단계 이동을 포함한 해의 점점 가까운 행동을 분석하는 것.

제안 방법

• NZBCs 하에서 조스트 고유함수와 산란 데이터를 분석하기 위해 복소 z-평면을 정의하기 위해 균일화된 좌표 변환을 도입하는 것.
• Wentzel-Kramers-Brillouin(WKB) 전개를 적용하여 조스트 함수와 산란 행렬의 점점 가까운 행동을 유도하는 것.
• 세 가지 다른 대칭성 하에서 산란 행렬과 고유함수의 대칭 관계를 수립하여 NZBCs 하에서도 구조를 유지하는 것.
• 수정된 고유함수와 산란 계수의 해석성 및 절단 조건을 사용하여 일반화된 리emann-힐베르트 문제를 설정하는 것.
• 리emann-힐베르트 문제를 해결하여 반사 없는 경우 잠재력을 재구성하고, 명시적인 솔리톤 해를 도출하는 것.
• 트레이스 공식과 잔여 조건을 사용하여 잠재력의 점점 가까운 단계를 산란 데이터와 노름 상수와 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $2m\times2m$ 행렬 잠재력에 대해 비영 경계 조건을 가진 mmKdV 방정식에 대한 역산성 변환을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 복소 z-평면에서 NZBCs 하에서 조스트 고유함수와 산란 행렬의 해석성 및 대칭 성질은 무엇인가?
• RQ3 일반화된 리emann-힐베르트 문제를 통해 반사 없는 경우 산란 데이터로부터 잠재력을 어떻게 재구성할 수 있는가?
• RQ4 점점 가까운 $x \to -\infty$ 에서 잠재력과 경계 조건 사이의 점점 가까운 단계 관계는 무엇인가?
• RQ5 스칼라 및 대칭 $2\times2$ 행렬 잠재력 하에서 비영 경계 조건을 가진 일차 및 이차 솔리톤 해는 어떻게 역학적으로 행동하는가?

주요 결과

• 비영 경계 조건을 가진 mmKdV 방정식에 대해 일반화된 리emann-힐베르트 문제가 성공적으로 수립되어 $2m\times2m$ 행렬 잠재력에 대한 역산성 분석이 가능해졌다.
• 반사 없는 경우, 리emann-힐베르트 문제를 통해 잠재력이 재구성되며, 스칼라 및 대칭 $2\times2$ 행렬 형태로 명시적인 일차 및 이차 솔리톤 해가 도출되었다.
• 스칼라 집중형 케이스에서, 일차 솔리톤 해는 $x \to -\infty$ 일 때 $Q(x,t) \sim e^{-4i\tau}k_0$ 로 점점 가까워지며, 여기서 $\tau$ 는 이산 고유값의 단계이다.
• $2\times2$ 대칭 행렬 케이스에서 $\det C_1 = 0$ 이면, 일차 솔리톤 해는 $\Delta_1^{-}$ 에 의해 제어되는 단계 이동을 보이며, 노름 상수 행렬의 트레이스와 여인수 항목을 포함하는 점점 가까운 행동을 보인다.
• 잠재력의 점점 가까운 단계가 약한 트레이스 공식을 통해 산란 데이터와 연결됨을 보여주어, 잠재력의 진화와 산란 계수 간의 일관성을 확인하였다.
• 산란 행렬의 점점 가까운 분석을 통해 $X_1 = \Upsilon_1 \Gamma_1^{-1}$ 와 $X_2 = \Upsilon_2 \Gamma_2^{-1}$ 를 사용하여 솔리톤의 역학적 행동, 특히 단계 이동과 편열의 지수 감소가 해석적으로 확인되었다.