[논문 리뷰] Inverse scattering transforms for the focusing and defocusing mKdV equations with nonzero boundary conditions

Guoqiang Zhang, Zhenya Yan|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 29.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 49인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 행렬 리emann-hilbert 문제를 사용하여 비영 경계 조건(NZBCs)을 가진 초집중 및 산산산산 mKdV 방정식에 대해 엄밀한 역산산 변환(IST)을 개발한다. 통일화 변수를 도입함으로써 저자들은 복소 평면 위에서 직접 및 역산산 문제를 재구성하고, 재구성 공식, 트레이스 공식, θ 조건을 유도하며, 단순 및 이중 극을 가진 일반 해를 명시적으로 구성한다. 이는 반사 없는 포텐셜과 다양한 파동 구조를 가진 솔리톤 상호작용을 포함한다.

ABSTRACT

We explore systematically a rigorous theory of the inverse scattering transforms with matrix Riemann-Hilbert problems for both focusing and defocusing modified Korteweg-de Vries (mKdV) equations with non-zero boundary conditions (NZBCs) at infinity. Using a suitable uniformization variable, the direct and inverse scattering problems are proposed on a complex plane instead of a two-sheeted Riemann surface. For the direct scattering problem, the analyticities, symmetries and asymptotic behaviors of the Jost solutions and scattering matrix, and discrete spectra are established. The inverse problems are formulated and solved with the aid of the Riemann-Hilbert problems, and the reconstruction formulae, trace formulae, and theta conditions are also found. In particular, we present the general solutions for the focusing mKdV equation with NZBCs and both simple and double poles, and for the defocusing mKdV equation with NZBCs and simple poles. Finally, some representative reflectionless potentials are in detail studied to illustrate distinct wave structures for both focusing and defocusing mKdV equations with NZBCs.

연구 동기 및 목표

• 비영 경계 조건(NZBCs)을 가진 초집중 및 산산산산 mKdV 방정식에 대해 완전하고 엄밀한 역산산 변환 이론을 수립하기 위해.
• 이전 연구에서 적분 방정식에 의존하거나 전체 해석성 및 대칭성 분석이 부족한 한계를 극복하기 위해.
• 적절한 통일화 변수를 사용한 행렬 리emann-hilbert 문제를 통해 역문제를 공식화하고 해결하여, 이중 리만 표면을 피하기 위해.
• 초집중 및 산산산산 케이스 모두에 대해 명시적인 재구성 공식, 트레이스 공식, θ 조건을 도출하기 위해.
• 반사 없는 포텐셜을 포함한 단순 및 이중 극을 가진 일반 해를 구성하고, 그들의 역학적 파동 구조를 분석하기 위해.

제안 방법

• 직접 산산 문제는 Jost 해와 산산 행렬을 사용하여 분석되며, 통일화 변수를 통해 복소 평면에서의 해석성, 대칭성, 점점 가까운 행동을 확립한다.
• 역문제는 행렬 리emann-hilbert 문제를 사용하여 공식화되고 해결되며, 산산 데이터에서 포텐셜을 재구성할 수 있다.
• 기존의 Gel’fand-Levitan-Machenko 적분 방정식을 피하고, 비영 배경과 복잡한 스펙트럼 구조를 다루기 위해 리emann-hilbert 기법을 사용한다.
• Jost 함수와 산산 행렬의 해석성 및 대칭성 성질이 엄밀히 유도되며, 이는 이산 스펙트럼과 NZBCs 하에서의 행동을 포함한다.
• 초집중 및 산산산산 mKdV 방정식에 대해 비영 경계 조건을 가진 경우의 재구성 공식, 트레이스 공식, θ 조건을 체계적으로 도출한다.
• 반사 없는 포텐셜을 가진 단순 및 이중 극을 가진 명시적 해를 구성하며, 이는 키프, 다크, 브라이트, 브리더 솔리톤을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비영 경계 조건을 가진 초집중 mKdV 방정식에 대해, 적분 방정식 대신 행렬 리emann-hilbert 문제를 사용하여 일반적인 역산산 변환 이론을 공식화할 수 있는가?
• RQ2 이론이 초집중 mKdV 방정식에 대해 복소 공액 및 순수 허수 이산 스펙트럼(즉, N1-브리더-N2-솔리톤 해)을 포함한 일반 해를 지원하는가?
• RQ3 초집중 mKdV 방정식에 대해 혼합 스펙트럼 유형을 가진 이중 극 해를 체계적으로 도출할 수 있는가?
• RQ4 비영 경계 조건을 가진 산산산산 mKdV 방정식에 대해 엄밀한 역산산 이론이 존재하는가? 이는 이전 문헌에서 거의 탐색되지 않은 분야이다.
• RQ5 초집중 및 산산산산 mKdV 방정식에서 비영 경계 조건 하에서, 키프, 다크, 브라이트, 브리더 솔리톤 등의 다양한 솔리톤 파동 구조는 어떻게 나타나고 상호작용하는가?

주요 결과

• 비영 경계 조건을 가진 초집중 mKdV 방정식에 대해 단순 극을 가진 일반 해는 리emann-hilbert 문제를 통해 도출되었으며, 복소 공액 및 순수 허수 이산 스펙트럼이 혼합된 경우를 포함한다.
• 비영 경계 조건을 가진 초집중 mKdV 방정식에 대해 이중 극 해가 명시적으로 구성되었으며, 복소 공액 및 순수 허수 스펙트럼 데이터를 모두 포함한다.
• 비영 경계 조건을 가진 산산산산 mKdV 방정식에 대해 단순 극을 가진 일반 해가 도출되었으며, 다크 및 키프 솔리톤을 포함한 반사 없는 포텐셜을 포함한다.
• 비영 경계 조건을 가진 산산산산 mKdV 방정식의 1-솔리톤 해는 잔여 조건 $ aq_{-} > 0 $ 일 때 다크 솔리톤을 보이며, $ aq_{-} < 0 $ 일 때는 특이성을 보이며, 시간이 지남에 따라 키프 솔리톤의 서로 다른 분지에 나타난다.
• N=2의 경우 두 다크 솔리톤 간의 탄성 상호작용이 관찰되었으며, 진폭과 위치 순서가 시간이 지남에 따라 뒤바뀌어 안정적이고 복사 없는 역학적 행동을 나타낸다.
• 키프 솔리톤, 다크 솔리톤, 특이 해 간의 상호작용은 역학적으로 시각화되었으며, 특이점이 시간이 지남에 따라 키프 솔리톤의 한 분지에서 다른 분지로 이동하는 것으로 나타나 스펙트럼 구조와 일치한다.