[논문 리뷰] Inverse semigroups and the Cuntz-Li algebras

S. Sundar|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 06.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Cuntz-Li 대수 $U[\mathbb{Z}]$에 역 준군 이론을 적용하여, 이 대수가 부분 등장사상들의 역 준군에 의해 생성됨을 보여준다. 이 준군에서 tight groupoid $\mathcal{G}_{\text{tight}}$를 구성함으로써, 저자들은 $\mathcal{G}_{\text{tight}}$가 [CL08]에서 얻어진 groupoid와 동형임을 보이며, 표현 이론적 접근을 통해 추가적인 가정 없이도 groupoid 표현을 체계적으로 유도함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we apply the theory of inverse semigroups to the $C^{*}$-algebra $U[\mathbb{Z}]$ considered in \cite{Cuntz}. We show that the $C^{*}$-algebra $U[\mathbb{Z}]$ is generated by an inverse semigroup of partial isometries. We explicity identify the groupoid $\mathcal{G}_{tight}$ associated to the inverse semigroup and show that $\mathcal{G}_{tight}$ is exactly the same groupoid obtained in \cite{Cuntz-Li}.

연구 동기 및 목표

• 역 준군 이론을 사용하여 Cuntz-Li 대수 $U[\mathbb{Z}]$의 groupoid 표현을 체계적이고 표현 이론적으로 유도하는 것.
• 대수 $U[\mathbb{Z}]$가 부분 등장사상들의 역 준군에 관련된 tight groupoid $\mathcal{G}_{\text{tight}}$의 $C^*$-대수와 동형임을 보이는 것.
• 역 준군의 항등 표현이 tight임을 보이며, 이로써 대수적 구조와 groupoid 모델을 연결하는 것.

제안 방법

• 프로젝션의 준군 $P$의 원소 $e$에 대해 부분 등장사상 $s_m^* u^n e u^{n'} s_m$로 생성되는 역 준군 $T$를 정의한다.
• Exel의 tight 표현 이론을 사용하여 $U[\mathbb{Z}]$에서 $T$의 항등 표현이 tight임을 보이며, 따라서 $U[\mathbb{Z}] \cong C^*(\mathcal{G}_{\text{tight}})$임을 유도한다.
• 명시적으로 $\mathcal{G}_{\text{tight}}$를 분수체 위의 아핀군 $P_{\mathbb{Q}}$가 프로피니트 완비화 $\hat{\mathbb{Z}}$ 위에 작용하는 꼬리의 군oid로 식별한다. 이는 사상 $\phi: \mathcal{R} \times P_{\mathbb{Q}(\mathbb{Z})}|_{\hat{\mathbb{Z}}} \to \mathcal{G}_{\text{tight}}$를 통해 이루어진다.
• 프로젝션 준군 $P$ 위의 tight 필터 공간과 $\hat{\mathbb{Z}}$ 사이의 위상 동형을 확립하여 $\mathcal{G}_{\text{tight}} \cong \mathcal{R} \times P_{\mathbb{Q}}|_{\hat{\mathbb{Z}}}$임을 보인다.
• Baire 분류 정리와 고정점 집합의 성질을 이용하여 groupoid $\mathcal{G}_{\text{tight}}$가 최소성과 위상적으로 주요성을 가짐을 증명한다.
• 일반적인 정수환 $R$에 대해 분석을 확장하여, 동일한 역 준군과 tight groupoid 구성이 유한 몫을 가진 모든 정수환에 대해 적용됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Cuntz-Li 대수 $U[\mathbb{Z}]$의 groupoid 표현이 사전에 groupoid의 구조를 알지 못한 채 역 준군 이론을 체계적으로 유도할 수 있는가?
• RQ2 부분 등장사상들의 역 준군의 항등 표현이 tight인지, 그리고 이로 인해 $C^*$-대수 $U[\mathbb{Z}]$가 유도되는가?
• RQ3 Cuntz-Li 대수를 생성하는 역 준군과 관련된 tight groupoid $\mathcal{G}_{\text{tight}}$의 명시적 구조는 무엇인가?
• RQ4 groupoid $\mathcal{G}_{\text{tight}}$는 [CL08]에서 구성된 groupoid와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 일반적인 정수환 $R$에 대해 $U[R]$의 단순성은 groupoid의 최소성과 위상적으로 주요성에 의해 확립될 수 있는가?

주요 결과

• 대수 $U[\mathbb{Z}]$는 부분 등장사상들의 역 준군에 관련된 tight groupoid $\mathcal{G}_{\text{tight}}$의 $C^*$-대수와 동형이다.
• Tight groupoid $\mathcal{G}_{\text{tight}}$는 $\mathcal{R} \times P_{\mathbb{Q}}|_{\hat{\mathbb{Z}}}$로 명시적으로 식별되며, 여기서 $\mathcal{R}$은 곱셈 사상에 따른 $\hat{\mathbb{Z}}$의 순차적 극한이고, $P_{\mathbb{Q}}$는 아핀 변환으로 작용한다.
• 사상 $\phi: \mathcal{R} \times P_{\mathbb{Q}}|_{\hat{\mathbb{Z}}} \to \mathcal{G}_{\text{tight}}$가 $\phi(r, \begin{bmatrix}1&0\\ k/m & n/m \end{bmatrix}) = [(r, s_m^* u^k s_n)]$로 정의될 때, 이는 위상군oid 동형사상이다.
• 비자명한 원소들이 $P_{\mathbb{Q}}$에서 고정점 집합의 내부가 공집합이므로, groupoid $\mathcal{G}_{\text{tight}}$는 최소성과 위상적으로 주요성을 가진다.
• 그러므로 $\mathcal{G}_{\text{tight}}$의 최소성과 위상적으로 주요성의 결과로 $U[\mathbb{Z}]$는 단순하다.
• 이 구성은 유한 몫을 가진 임의의 정수환 $R$로 일반화되며, 이 경우 $U[R]$는 $C^*(\mathcal{G}_{\text{tight}})$와 동형이며, $\mathcal{G}_{\text{tight}} \cong \mathcal{R} \times P_{Q(R)}|_{\hat{R}}$이다.