[논문 리뷰] Inversion of Separable Kernel Operators in Coupled Differential-Functional Equations and Application to Controller Synthesis

Guoying Miao, Matthew M. Peet외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 29.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 연관된 미분-함수 방정식에서 분리 가능한 커널 연산자를 직접 대수적 방법으로 역행렬화하는 방법을 제시하며, 시간 지연 시스템의 효율적인 제어기 설계를 가능하게 한다. 급수 전개를 피하고 불변 부분공간 성질을 활용함으로써 계산 복잡도를 감소시키며, 제곱합 최적화를 통해 고차원 시스템의 안정화를 실현한다. 두 개의 지연 채널을 가진 6차원 시스템에서 성공적으로 적용되었다.

ABSTRACT

This article presents the inverse of the kernel operator associated with the complete quadratic Lyapunov-Krasovskii functional for coupled differential-functional equations when the kernel operator is separable. Similar to the case of time-delay systems of retarded type, the inverse operator is instrumental in control synthesis. Unlike the power series expansion approach used in the previous literature, a direct algebraic method is used here. It is shown that the domain of definition of the infinitesimal generator is an invariant subspace of the inverse operator if it is an invariant subspace of the kernel operator. The process of control synthesis using the inverse operator is described, and a numerical example is presented using the sum-of-square formulation.

연구 동기 및 목표

• 연관된 미분-함수 방정식에서 분리 가능한 커널 연산자에 대한 효율적인 역연산자 방법을 개발하기 위해.
• 거듭 제곱 급수 전개에 의존하지 않고 시간 지연 시스템의 제어기 설계를 가능하게 하기 위해.
• 무한소 생성자에 대한 구조적 불변성을 활용하여 제어기 설계의 계산 복잡도를 감소시키기 위해.
• 제곱합(SOS) 프레임워크를 동적 연관성과 분포 지연을 가진 시스템으로 확장하기 위해.
• 6개 상태와 2개의 지연 채널을 가진 고차원 시스템에 대해 방법을 적용하기 위해.

제안 방법

• 거듭 제곱 급수 전개 대신 직접 대수적 접근을 사용하여 커널 연산자의 역행렬을 유도한다.
• 무한소 생성자의 정의역이 원래 커널 연산자에 대해 불변이면, 그 역연산자에 대해서도 불변임을 입증한다.
• 역연산자를 적용하여 안정성 분석을 위한 완전한 2차 리아푸노프-크라소프스키 함수를 구성한다.
• 행렬값 함수가 구간 $[-r, 0]$에서 양의 정부호 및 음의 정부호 조건을 만족하도록 제곱합(SOS) 최적화를 사용한다.
• 피드백 제어기를 상태 피드백, 지연된 상태 피드백, 지연 간격에 대한 분포 적분 작용의 조합으로 표현한다.
• SOSTOOLS와 다항식 최적화를 활용하여 다항식 결정 변수를 가진 최종 정수형 프로그래밍 문제를 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연관된 미분-함수 방정식에서 분리 가능한 커널 연산자의 역행렬을 급수 전개 없이 계산할 수 있는가?
• RQ2 역연산자는 어떻게 시간 지연이 있는 분포 지연을 가진 시스템의 안정화 제어기를 설계하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 기본 지연 미분 프레임워크에 비해 미분-차분 형식을 사용할 때의 계산적 이점은 무엇인가?
• RQ4 무한소 생성자의 불변 부분공간 성질이 역연산자 하에 유지되는가?
• RQ5 기존의 SOS 기반 제어기 설계 접근법과 비교할 때, 제안된 방법은 복잡도와 확장성 측면에서 어떻게 다른가?

주요 결과

• 역연산자가 직접 대수적으로 유도되어 거듭 제곱 급수 전개가 필요 없어지며, 계산 효율성이 향상된다.
• 무한소 생성자의 정의역은 역연산자 하에서도 여전히 불변을 유지하여 안정성 분석에 필수적인 구조적 성질을 보존한다.
• 제어기 설계 방법으로 결정 변수의 수가 $3n$에서 $n + 2m$로 감소하여, $m \ll n$일 경우 계산 복잡도가 크게 감소한다.
• 두 개의 지연 채널을 가진 6차원 시스템이 제안된 방법을 통해 성공적으로 안정화되었으며, 제어기는 상태 피드백, 지연된 상태 피드백, 분포 적분 피드백을 포함한다.
• 폐쇄 루프 시스템은 수치 시뮬레이션을 통해 점근적으로 안정함을 입증하여 제어기 설계의 효과성을 확인하였다.
• 이 방법은 동적 연관성과 분포 지연을 가진 시스템에 대해 SOS 기반 최적화를 적용할 수 있게 하여, 이전에 후행형 시스템에 국한된 결과를 확장한다.