[논문 리뷰] Investigating Steady Unconfined Groundwater Flow using Physics Informed Neural Networks

Mohammad Afzal Shadab, DingCheng Luo외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 27.

Groundwater flow and contamination studies인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 물리 기반 신경망(PINNs)을 제안하여 정체된 비압축 지하수 유동을 모델링한다. 이는 두루이-부아지네크 방정식과 더 완전한 1차원 유동 방정식인 디 뉴키 모델을 실험 및 분석 데이터와 통합한다. PINNs는 수위 표면 프로파일과 수리 전도도를 정확하게 예측하며, 기존 두루이-부아지네크 모델이 침하면면을 포착하지 못하는 데서 비롯되는 결함을 극복하고, 단순화된 모델의 타당성을 위한 임계 무차원 매개변수 Π ≤ 0.1 를 규명한다.

ABSTRACT

A novel deep learning technique called Physics Informed Neural Networks (PINNs) is adapted to study steady groundwater flow in unconfined aquifers. This technique utilizes information from underlying physics represented in the form of partial differential equations (PDEs) alongside data obtained from physical observations. In this work, we consider the Dupuit-Boussinesq equation, which is based on the Dupuit-Forchheimer approximation, as well as a recent more complete model derived by Di Nucci (2018) as underlying models. We then train PINNs on data obtained from steady-state analytical solutions and laboratory based experiments. Using PINNs, we predict phreatic surface profiles given different input flow conditions and recover estimates for the hydraulic conductivity from the experimental observations. We show that PINNs can eliminate the inherent inability of the Dupuit-Boussinesq equation to predict flows with seepage faces. Moreover, the inclusion of physics information from the Di Nucci and Dupuit-Boussinesq models constrains the solution space and produces better predictions than solely the training data. PINNs based predictions are very robust and show little effect from added noise in the training data. Further, we compare the PINNs obtained using the two different flow models to examine the effects of higher order flow terms, which are neglected by the Dupuit Forchheimer approximation. We found a dimensionless parameter $Π$, which is the ratio of vertical to horizontal flow effects. For $Π\leq 0.1$, Dupuit-Boussinesq approximation is found to be applicable but not otherwise. Lastly, we discuss the effectiveness of using PINNs for examining groundwater flow.

연구 동기 및 목표

• 비압축 오수층에서 정체 상태 지하수 유동을 모델링하기 위한 물리 기반 기계학습 프레임워크를 개발한다.
• 기울인 경계에서 대기압에서 물이 노출되는 침하면을 예측하지 못하는 두루이-부아지네크 방정식의 내재된 한계를 해결한다.
• 분석적 해와 실험실에서의 실험 데이터를 기반으로 훈련된 PINNs를 통해 두루이-부아지네크 모델과 디 뉴키 모델의 예측 성능를 비교한다.
• 수직 흐름과 수평 흐름 효과의 상대적 중요도를 무차원 매개변수 Π = 2q/KL 을 통해 정량화한다.
• 伝통적인 침수기기 측정에 의존하지 않고 노이즈가 있는 실험 데이터에서 수리 전도도를 추정하는 데 있어 PINNs의 강건성을 입증한다.

제안 방법

• PINNs는 분석적 해(두루이-부아지네크 및 디 뉴키 방정식)와 1 mm 및 2 mm 구슬을 사용한 실험실 플룸에서의 실험 관측 데이터를 모두 활용하여 훈련된다.
• 두루이-부아지네크 및 디 뉴키 모델의 근본이 되는 편미분방정식(PDE)을 신경망 손실 함수 내에 물리적 제약 조건으로 통합한다.
• 신경망은 데이터 오차와 PDE 잔차를 동시에 최소화하도록 최적화되며, PDE에 필요한 공간 도함수를 자동 미분을 통해 계산한다.
• 합성 데이터를 활용하여 스케일링과 L-곡선 분석을 통해 PDE 오차에 대한 정규화 파라미터를 조정하여 실험 데이터에 대한 최적의 일반화를 확보한다.
• 훈련 중에 수리 전도도를 학습 가능한 파라미터로 간주하여 자유 표면 측정값에서 접촉 없이 추정할 수 있도록 한다.
• 디 뉴키 모델을 활용하여 수직 대 수평 흐름 효과의 비율을 정량화하는 무차원 매개변수 Π = 2q/KL 을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분석적 해와 실험 데이터를 모두 기반으로 훈련된 PINNs가 비압축 오수층에서 수위 표면 프로파일을 정확하게 예측할 수 있는가?
• RQ2 디 뉴키 모델의 물리적 정보를 포함시킬 경우, 침하면 역학을 더 잘 포착할 수 있는가? 특히 두루이-부아지네크 모델에 비해 정확도가 향상되는가?
• RQ3 노이즈가 있는 실험 데이터에 대해 PINN 예측은 얼마나 강건한가? 물리적 제약 조건이 없는 표준 신경망보다 성능이 뛰어나지 않는가?
• RQ4 두루이-부아지네크 근사가 실패하고 디 뉴키 모델이 필수적인 임계 무차원 매개변수 Π = 2q/KL 의 값은 무엇인가?
• RQ5 PINNs는 실험 관측값에서 수리 전도도를 성공적으로 역추정할 수 있는가? 이는 전통적인 침수기기 측정에 대한 비접촉식 대체 기법으로서의 잠재력을 보여주는가?

주요 결과

• PINNs는 훈련 및 테스트 데이터 모두에서 노이즈가 있는 실험 입력 조건에서도 수위 표면 프로파일을 높은 정확도로 예측한다.
• PINNs는 두루이-부아지네크 모델이 침하면을 예측하지 못하는 문제를 해결하여, 경계에서 수위가 표면에 도달하는 물리적으로 일관된 자유 표면 프로파일을 생성한다.
• 디 뉴키 PDE의 물리적 정보를 포함시킬 경우, 순수 데이터 기반 신경망보다 예측 정확도가 크게 향상되며, 이는 진동하고 물리적으로 비합리적인 결과를 유도하는 순수 데이터 기반 모델과 대비된다.
• 무차원 매개변수 Π = 2q/KL 는 임계 임계값으로서 중요한 역할을 한다: Π ≤ 0.1 일 경우 두루이-부아지네크 근사는 타당하며, Π > 0.1 일 경우 고차원 수직 흐름 효과를 고려해야 한다.
• 실험 데이터에서 수리 전도도가 정확하게 추정되었으며, 이는 이론적 입력값과 유사한 결과를 보여주어, 본 방법이 접촉 없는 측정 기법으로서의 잠재력을 입증한다.
• PINNs는 훈련 데이터의 노이즈에 대해 강건성을 보이며, PDE 기반 정규화 덕분에 안정적이고 정확한 예측을 유지한다.