[논문 리뷰] Irreducibility of Moduli Spaces of Vector Bundles on Birationally Ruled Surfaces

Charles Walter|ArXiv.org|1993. 11. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 2인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 극화 조건이 만족될 경우, 이sovolumetrically 루프된 표면 위의 반안정 벡터 번들의 모듈리 공간의 불가약성과 정규성을 확립한다. 우선순위를 가진 층의 스택이 매끄럽고 불가약하다는 것을 증명하고, 반안정 층이 그 안에 열린 부분스택을 이룬다는 것을 보여, 저자들은 모듈리 스킴이 불가약하고 정규적이며, 유리 표면의 경우 안정 부분공간이 매끄럽고 유리성임을 유도한다.

ABSTRACT

Let $S$ be a birationally ruled surface. We show that the moduli schemes $M_S(r,c_1,c_2)$ of semistable sheaves on $S$ of rank $r$ and Chern classes $c_1$ and $c_2$ are irreducible for all $(r,c_1,c_2)$ provided the polarization of $S$ used satisfies a simple numerical condition. This is accomplished by proving that the stacks of prioritary sheaves on $S$ of fixed rank and Chern classes are smooth and irreducible.

연구 동기 및 목표

• 이sovolumetrically 루프된 표면 위의 반안정 벡터 번들의 모듈리 공간의 불가약성을 확립하는 것.
• P²와 P¹×P¹에서 알려진 불가약성 결과를 음의 코다이라 차원을 가진 모든 매끄러운 콘서트 표면으로 확장하는 것.
• 극화에 대한 수치 조건 하에서 모듈리 스킴이 정규적이며, 안정 부분공간이 매끄럽다는 것을 보이는 것.
• 우선순위를 가진 층의 스택이 매끄럽고 불가약하다는 것을 증명하여 핵심 기술적 기초를 마련하는 것.
• 일반적인 반안정 층이 국소적으로 자유로움을 보이며, 유리 표면의 경우 안정 모듈리 공간이 유리성임을 보이는 것.

제안 방법

• Ellingsrud와 Strømme의 방법을 우선순위를 가진 층의 개념을 통해 적응하여, 모든 p∈C에 대해 Ext²(E, E(−fp))의 위상이 0이 되는 것으로 정의된다.
• 점에서의 블로우업을 사용하여, Picard 수에 대한 귀납법을 통해 이sovolumetrically 루프된 표면 위의 우선순위를 가진 층의 스택의 불가약성과 매끄러움을 증명한다.
• H⋅(KS+f)<0 조건이 성립할 경우, 모든 H-반안정 층이 우선순위를 가진다는 것을 보이며, 모듈리 스택을 우선순위 스택에 임베딩한다.
• GIT 몫 구조를 Quot 스킴을 통해 사용: 모듈리 공간은 SL(Hm)에 의한 매끄럽고 불가약한 Quot 스킴의 몫으로 구성되며, 정규성과 불가약성을 보장한다.
• Simpson의 극화를 Quot 스킴에 적용하여 모듈리 공간을 몫 스택으로 구성하며, 보편 가족과 스택 이론적 기법을 활용한다.
• Jac(C)×Jac(C)×P^m에서 안정 모듈리 공간으로의 주어진, 일반적으로 유한한 사상에 의해 안정 부분공간의 유리성을 확립한다. 이때 m은 명시적으로 계산된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이sovolumetrically 루프된 표면 위의 반안정 벡터 번들의 모듈리 공간이 불가약해지기 위한 극화 조건은 무엇인가?
• RQ2 이sovolumetrically 루프된 표면 위의 우선순위를 가진 층의 스택이 매끄럽고 불가약하다는 것을 증명할 수 있는가?
• RQ3 H⋅(KS+f)<0 조건이 모든 H-반안정 층이 우선순위를 가진다는 것을 보장하는가?
• RQ4 이러한 표면 위의 반안정 층의 모듈리 스킴은 정규적이며, 안정 부분공간은 매끄럽게 되는가?
• RQ5 안정 모듈리 공간의 기하학적 구조는 무엇이며, 유리 표면의 경우 유리성인가?

주요 결과

• 모듈리 공간 M_{S,H}(r,c₁,c₂)는 비어 있지 않고 극화가 H⋅(K_S + f) < 0 를 만족할 경우 항상 불가약하고 정규적이다.
• 안정 층을 매개변수화하는 열린 부분스킴 M_{S,H}^s(r,c₁,c₂)는 매끄럽다.
• 모든 r≥2, c₁∈NS(S), c₂∈Z에 대해 우선순위를 가진 층의 스택 Priort_S(r,c₁,c₂)는 매끄럽고 불가약하다.
• 유리 표면의 경우, 안정 모듈리 공간은 Jac(C)×Jac(C)×P^m에서의 주어진, 일반적으로 유한한 사상에 의해 유리성임을 보인다. 이때 m=2rc₂−(r−1)c₁+(r²−2)g−r²+1이다.
• M_{S,H}(r,c₁,c₂) 내의 일반적인 H-반안정 층은 국소적으로 자유롭다.
• 모든 이sovolumetrically 루프된 표면에서 H⋅(K_S + f) < 0 를 만족하는 앰플한 극화 H가 존재하며, 이는 Picard 수에 대한 귀납적 구축을 통해 명시적으로 보여진다.