[논문 리뷰] Irreducible modules over Witt algebras $\mathcal{W}_n$ and over $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$

Haijun Tan, Kaiming Zhao|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 19.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 와일 대수 $\mathcal{K}_n$ 위의 모듈러에 스위칭 기법을 적용하여 웃 대수 $\mathcal{W}_n$ 와 그 부분대수 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$ 위에 새로운 기약 모듈러를 구성한다. 기약성과 동형 조건에 대한 필요충분 조건을 제시하며, 일반화된 베르마 또는 윌러 모듈러가 아닌 새로운 무한차원 비웨이트 모듈러를 도출함으로써, 이러한 리 대수의 기약 표현 분류를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, by using the "twisting technique" we obtain a class of new modules $A_b$ over the Witt algebras $\mathcal{W}_n$ from modules $A$ over the Weyl algebras $\mathcal{K}_n$ (of Laurent polynomials) for any $b\in\mathbb{C}$. We give the necessary and sufficient conditions for $A_b$ to be irreducible, and determine the necessary and sufficient conditions for two such irreducible $\mathcal{W}_n$-modules to be isomorphic. Since $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$ is a subalgebra of $\mathcal{W}_n$, all the above irreducible $\mathcal{W}_n$-modules $A_b$ can be considered as $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-modules. For a class of such $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-modules, denoted by $Ω_{1-a}(λ_1,λ_2,\cdots,λ_n)$ where $a\in\mathbb{C}, λ_1,λ_2,\cdots,λ_n \in \mathbb{C}^*$, we determine the necessary and sufficient conditions for these $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-modules to be irreducible. If the $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-module $Ω_{1-a}(λ_1,λ_2,\cdots,λ_n)$ is reducible, we prove that it has a unique nontrivial submodule $W_{1-a}(λ_1, λ_2,...λ_n)$ and the quotient module is the finite dimensional $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-module with highest weight $mΛ_n$ for some non-negative integer $m\in \Z_+$. The necessary and sufficient conditions for two $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-modules $Ω_{1-a}(λ_1,λ_2,\cdots,λ_n)$ and $W_{1-a}(λ_1, λ_2,...λ_n)$ to be isomorphic are also determined. The irreducible $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-modules $Ω_{1-a}(λ_1, λ_2,...λ_n)$ and $W_{1-a}(λ_1, λ_2,...λ_n)$ are new.

연구 동기 및 목표

• 와일 대수 $\mathcal{K}_n$-모듈러에 스위칭 기법을 적용하여 웃 대수 $\mathcal{W}_n$ 위의 새로운 기약 비웨이트 모듈러를 구성한다.
• 이러한 $\mathcal{W}_n$-모듈러 $A_b$ 의 기약성을 위한 필요충분 조건을 규명한다.
• $\mathcal{W}_n$-모듈러를 부분대수 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$ 에 제한함으로써 새로운 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-모듈러 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 를 도출한다.
• 이러한 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-모듈러의 기약성 및 동형 타입을 분류하며, 기약성이 아닌 경우의 유일한 비자명한 부분모듈러를 포함한다.
• 구성된 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-모듈러가 일반화된 베르마 또는 윌러 모듈러와 동형이 아니며, 그 독창성을 입증한다.

제안 방법

• 와일 대수 $\mathcal{K}_n$ 위의 기약 모듈러 $A$ 에 스위칭 기법을 적용하여 임의의 $b \in \mathbb{C}$ 에 대해 새로운 $\mathcal{W}_n$-모듈러 $A_b$ 를 구성한다.
• $\mathcal{W}_n$ 생성자의 작용과 기저 $\mathcal{K}_n$-모듈러의 구조에 기반한 조건을 통해 $A_b$ 의 기약성을 결정한다.
• $A_b$ 를 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$ 에 제한하면 $a \in \mathbb{C}$ 와 $\lambda_i \in \mathbb{C}^*$ 에 따라 매개변수화된 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-모듈러 클래스 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 가 도출된다.
• 표현론적 불변량(예: 웨이트 공간 구조 및 생성자의 작용)을 비교하여 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-모듈러의 동형류를 분류한다.
• $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 이 기약성이 아닐 경우, 유일한 비자명한 부분모듈러 $W_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 를 가지며, 몫 모듈러는 어떤 $m \in \mathbb{Z}_+$ 에 대해 최고웨이트 $m\Lambda_n$ 을 갖는 유한차원 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-모듈러임을 보인다.
• 비국소적 유한성 작용과 자유 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]$-모듈러 구조를 통해 기존 클래스(예: 일반화된 베르마 및 윌러 모듈러)와의 차별성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 $b \in \mathbb{C}$ 에 대해 스위칭된 $\mathcal{W}_n$-모듈러 $A_b$ 가 기약이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 두 기약 $\mathcal{W}_n$-모듈러 $A_b$ 와 $A'_b$ 가 $\mathcal{W}_n$-모듈러로서 동형이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-모듈러 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 이 기약이 되는 매개변수 $a$ 와 $\lambda_i$ 는 무엇인가?
• RQ4 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 이 기약성이 아닐 경우, 유일한 비자명한 부분모듈러 $W_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ5 구성된 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-모듈러는 일반화된 베르마 또는 윌러 모듈러와 어떻게 다를까?

주요 결과

• $\mathcal{W}_n$-모듈러 $A_b$ 는 $\mathcal{W}_n$ 생성자의 작용과 원래의 $\mathcal{K}_n$-모듈러 $A$ 의 구조에 관한 특정 조건을 만족할 때에만 기약이 된다. 특히, 특정 미분연산자의 영이 아님을 포함한다.
• 두 기약 $\mathcal{W}_n$-모듈러 $A_b$ 와 $A'_b$ 는 스위칭 작용에 의해 그 매개변수와 기저 $\mathcal{K}_n$-모듈러 구조가 동치일 때에만 $\mathcal{W}_n$-모듈러로서 동형이 된다.
• $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-모듈러 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 는 $a \notin \mathbb{Z}$ 이고, $\partial_i$ 의 작용을 포함한 매개변수 $\lambda_i$ 의 비퇴화 조건을 만족할 때에만 기약이 된다.
• $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 이 기약성이 아닐 경우, 유일한 비자명한 부분모듈러 $W_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 를 가지며, 몫 모듈러는 어떤 $m \in \mathbb{Z}_+$ 에 대해 최고웨이트 $m\Lambda_n$ 을 갖는 유한차원 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-모듈러이다.
• $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-모듈러 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 와 $W_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 는 그 $e_{i,j}$ ($i \neq j$) 작용이 국소적으로 유한적이지 않으며, 자유 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]$-모듈러이므로 일반화된 베르마 또는 윌러 모듈러와 동형이 아니다.
• 두 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-모듈러 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 과 $\Omega_{1-a'}(\lambda_1',\dots,\lambda_n')$ 이 동형이 되는 것은 $a = a'$ 이고 모든 $i$ 에 대해 $\lambda_i = \lambda_i'$ 일 때에만 가능하며, 이는 해당 $W$-모듈러에도 동일하게 적용된다.