[논문 리뷰] Irreducible polynomials over finite fields produced by composition of quadratics

D. R. Heath‐Brown, Giacomo Micheli|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 18.

Coding theory and cryptography참고 문헌 2인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 이차 다항식의 동적 기하학적으로 불가약한 집합을 조사한다. 여기서 모든 기능적 합성은 여전히 불가약하다. 비제곱 반복을 사용하여 동적 불가약성의 기준을 수립하고, 체 확장을 통해 큰 집합을 구성하며, 시간 복잡도 $ O(r(/\log q)^3 q^{1/2}) $ 에서 작동하는 효율적인 불가약성 테스트 알고리즘을 제공한다. 이는 무한히 많은 $ q $ 에 대해 $ M(q) \geq \frac{1}{2}(\log q)^2 $ 를 증명한다.

ABSTRACT

For a set $S$ of quadratic polynomials over a finite field, let $C$ be the (infinite) set of arbitrary compositions of elements in $S$. In this paper we show that there are examples with arbitrarily large $S$ such that every polynomial in $C$ is irreducible. As a second result, we give an algorithm to determine whether all the elements in $C$ are irreducible, using only $O( \#S (\log q)^3 q^{1/2} )$ operations.

연구 동기 및 목표

• 모든 기능적 합성이 여전히 불가약한 유한체 위의 이차 다항식 집합을 특성화하고 구성하는 것.
• 보스턴-존슨의 동적 불가약성 기준을 다수의 다항식 및 비모닉 형태로 확장하는 것.
• 그러한 합성으로 생성된 반복값 집합의 크기와 구조를 분석하는 것.
• 주어진 이차 다항식 집합의 동적 불가약성을 테스트하기 위한 효율적인 알고리즘을 개발하는 것.
• $ \mathbb{F}_q $ 위의 모닉 이차 다항식 집합의 최대 크기인 $ M(q) $ 에 대한 하한을 설정하는 것.

제안 방법

• 일반화된 기준을 사용: 모닉 이차 다항식 집합은 모든 반복값 $ (f_{i_1} \circ \cdots \circ f_{i_n})(c_j) $ 가 $ \mathbb{F}_q $ 내에서 비제곱일 때에만 동적 불가약하다.
• 체 확장을 통해 다항식을 $ \mathbb{F}_p $ 에서 $ \mathbb{F}_{p^p} $ 로 올려, $ X^p - X - h $ 의 근을 사용하여 큰 동적 불가약 집합을 구성한다.
• 반복값 집합을 효율적으로 저장하고 쿼리하기 위해 레드_BLK 트리를 적용하여 삽입 및 소속 검사에 로그 시간 복잡도를 달성한다.
• 너비 우선 탐색을 반복값에 대해 수행하며, 제곱 수가 발견되거나 더 이상 새로운 값이 생성되지 않으면 조기에 종료한다.
• 반복값 집합의 크기에 대한 경계(최대 $ 4(\log q)^2 \sqrt{q} $) 를 활용하여 종료 조건과 복잡도 경계를 설정한다.
• 체 산술과 $ x^{(q-1)/2} \equiv 1 \pmod{q} $ 를 이용한 제곱 수 테스트를 통해 비제곱 상태를 효율적으로 판단한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 위의 이차 다항식 집합이 모든 기능적 합성에서 불가약하게 유지되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 큰 동적 기하학적으로 불가약한 이차 다항식 집합을 유한체 위에서 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 반복값 집합 $ (f_{i_1} \circ \cdots \circ f_{i_n})(c_j) $ 의 크기는 어떻게 증가하며, 그 크기에 대한 경계는 무엇인가?
• RQ4 주어진 다항식 집합이 동적 불가약한지 테스트하는 데 효율적인 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 $ M(q) $, 즉 $ \mathbb{F}_q $ 위의 동적 불가약한 집합의 최대 크기의 점점 커지는 성장률은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 유한체 $ \mathbb{F}_q $ 위의 모닉 이차 다항식 집합은 모든 반복값 $ (f_{i_1} \circ \cdots \circ f_{i_n})(c_j) $ 가 $ \mathbb{F}_q $ 내에서 비제곱일 때에만 동적 불가약하다.
• $ p \equiv 1 \pmod{4} $ 인 경우, $ \mathbb{F}_{p^p} $ 위에서 $ f_{b,c}(X) = (X - b - \xi)^2 + c + \xi $ 를 정의하면, $ \mathbb{F}_p $ 내에서 $ h $ 가 비제곱일 때 크기가 $ p^2 $ 인 동적 불가약 집합을 얻을 수 있다.
• 모든 이러한 반복값 집합의 크기는 $ 4(\log q)^2 \sqrt{q} $ 로 유계이며, 다항식의 수 $ r $ 에 관계없이 일관되게 유지된다.
• 최대 크기 $ M(q) $ 는 무한히 많은 $ q $ 에 대해 $ M(q) \geq \frac{1}{2}(\log q)^2 $ 를 만족하며, 명시적인 구성은 $ M(p^p) \geq p^2 $ 를 달성한다.
• 동적 불가약성 테스트를 위한 알고리즘은 $ O(r(\log q)^3 q^{1/2}) $ 개의 체 연산을 수행하며, $ O((\log q)^2 \sqrt{q}) $ 의 메모리를 사용한다.
• 알고리즘은 최대 $ 4(\log q)^2 \sqrt{q} $ 번의 반복 내에 종료되어 정확성과 효율성을 보장한다.