[논문 리뷰] Irreducible polynomials with prescribed trace and restricted norm

Keijo Kononen, Marko Moisio외 2명|ArXiv.org|2007. 10. 15.

Polynomial and algebraic computation인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한체 $\mathbb{F}_q$ 위에서 차수 $m$인 모닉 기약다항식의 수에 대해, 주어진 추적과 노름이 부분군 $\langle g^s \rangle$의 여부에 제한된 경우에 대해 명시적인 공식을 제공한다. 지수합과 자코비 합을 사용하여 $q = p$ 인 경우 $s = 2, 3, 4$에 대해 닫힌 형태의 표현식을 유도하였으며, $r = 2en$ 이면 $s \mid (p^e + 1)$ 인 경우에도 이를 적용하였다. $p = 2$, $m \leq 30$ 이고 추적과 노름이 모두 고정된 경우 완전한 공식을 제공하였다.

ABSTRACT

Let GF(q), q=p^r, be a finite field with a primitive element g. In this paper we use exponential sums and Jacobi sums to compute the number of the irreducible polynomials of degree m over GF(q) with trace fixed and norm restricted to a coset of a subgroup , s|(q-1). We give the number explicitly for s=2, 3, 4 when q=p, and for s|(p^e+1) when r=2en. Finally, we give explicit formulae for the number when both trace and norm are fixed, p=2 and m =< 30.

연구 동기 및 목표

• 카르리츠의 기존 작업을 일반화하여, 제곱군에서의 고정된 추적과 노름을 가지는 기약다항식의 연구를 $\langle g^s \rangle$의 임의의 여부로 확장한다.
• 주어진 다항식의 곱셈부분군의 여부에서 고정된 추적과 노름을 가지는 $\mathbb{F}_q$ 위에서 차수 $m$인 기약다항식의 수를 계산한다.
• 특히 $s = 2, 3, 4$ 이며 $s \mid (p^e + 1)$ 이고 $r = 2en$ 인 조건에서 수의 수를 위한 명시적인 닫힌 형태의 표현식을 제공한다.
• 기본적인 문자합 기법을 사용하여 $p = 2$ 이고 $m \leq 30$ 인 경우에 대해 추적과 노름이 모두 고정된 경우의 명시적 공식을 유도한다.

제안 방법

• 해법은 추적과 노름 조건을 만족하는 해의 수를 지수합을 통해 기술하는 표준加성 문자와 곱셈 문자를 사용한다.
• 중간체 $\mathbb{F}_{q^t}$ 에서의 해의 수에 대해 모비우스 역전개를 적용하여 이러한 다항식의 수를 유도한다.
• 핵심 식은 $P_m(a,s,h) = \frac{1}{m} \sum_{t \mid m} \mu(m/t) N_t$ 이며, 여기서 $N_t$ 는 $\mathbb{F}_{q^t}$ 에서 주어진 추적과 노름을 가진 원소의 수를 세는 것이다.
• 합 $M_t$ 는 가우스 합과 자코비 합을 사용하여 평가되며, 특히 $s = 2, 3, 4$ 와 $r = 2en$ 이면 $s \mid (p^e + 1)$ 인 경우에 대해 적용된다.
• 논문은 $L$-함수와 대수기하학을 피하고, 문자합의 명시적 평가와 원분 코스터의 성질에 의존한다.
• $p = 2$ 이고 $m \leq 30$ 인 경우, 복소수 단위근과 가우스 합의 실수부를 포함한 알려진 가우스 합과 자코비 합의 평가를 사용하여 공식을 도출하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 $\mathbb{F}_q$ 위에서 차수 $m$인 기약다항식 중에서 주어진 여부 $\langle g^s \rangle$ 에 속하는 고정된 추적과 노름을 가지는 것은 몇 개인가?
• RQ2 특히 $s = 2, 3, 4$ 이고 $q = p$ 인 경우에 대해 수의 수를 위한 명시적 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 $p = 2$ 이고 $m \leq 30$ 인 경우에 대해 추적과 노름이 모두 고정된 기약다항식의 수는 얼마인가?
• RQ4 $p^e + 1$ 에 대해 $s$ 가 나누는 경우와 $r = 2en$ 이면, 노름 원소의 곱셈군 내의 지수에 따라 수의 수가 어떻게 변하는가?

주요 결과

• s = 2 인 경우, 가우스 합을 사용하여 여부 $g^h\langle g^2 \rangle$ 에 속하는 고정된 추적과 노름을 가지는 기약다항식의 수를 명시적으로 계산하였으며, 카르리츠의 결과를 일반화하였다.
• s = 3 인 경우, 삼차 가우스 합을 포함하며, $b$ 의 지수 modulo 3 에 따라 달라지며, $3 \mid \operatorname{ind} b$ 와 $3 \nmid \operatorname{ind} b$ 의 경우에 대해 별도의 표현식이 존재한다.
• s = 4 인 경우, 사차 가우스 합을 사용하여 계산하였으며, $q \mod 4$ 의 값에 따라 달라지며, $q \equiv 1 \mod 4$ 와 $q \equiv 3 \mod 4$ 의 경우에 대해 별도의 표현식이 존재한다.
• r = 2en 이고 $s \mid (p^e + 1)$ 이면, 이러한 다항식의 수는 가우스 합과 복소수 단위근의 실수부를 포함하여 표현되며, 특히 $\omega_7$ 과 $\omega_{21}$ 이 포함된다.
• $p = 2$ 이고 $m \leq 30$ 이면, 추적과 노름이 모두 고정된 기약다항식의 수에 대해 명시적인 공식을 제시하였으며, $q = 2, 4, 8$ 과 $m = 3, 4, \dots, 13$ 의 경우를 포함하여, 알려진 데이터베이스와의 일치를 확인하였다.
• m = 21 인 경우, $\sqrt{q^5}$, 단위근의 실수부, $\operatorname{ind} b$ 의 원분 코스터에 대한 의존성 등을 포함하는 복잡한 표현식을 포함하며, $21 \mid \operatorname{ind} b$, $C_c^{21}$ 등의 경우에 대해 별도의 케이스를 다룬다.