[논문 리뷰] Irregular sets, the $\beta$-transformation and the almost specification property

Daniel J. Thompson|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 06.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 메트릭 공간 위의 연속 사상이 '거의 사양성'(almost specification) 성질을 만족할 경우—g-거의 곱셈 성질보다 약간 더 약한 조건—연속 관측량에 대한 비정상 집합은 공집합이거나 전체 위상 엔트로피와 전체 하우스도르프 차원을 가진다. 주요 기여는 β-시프트와 β-변환에 대해 이 성질을 증명한 것으로, 비정상 집합은 공집합이거나 엔트로피 log β와 차원 1을 가진다. 이는 일반화된 카토의 엔트로피 공식과 거의 스트레칭 세트를 활용하여 이루어졌다.

ABSTRACT

Let $(X,d)$ be a compact metric space, $f:X \mapsto X$ be a continuous map satisfying a property we call almost specification (which is slightly weaker than the $g$-almost product property of Pfister and Sullivan), and $\phi$ be a continuous function on $X$. We show that the set of points for which the Birkhoff average of $\phi$ does not exist (which we call the irregular set) is either empty or has full topological entropy. Every $\beta$-shift satisfies almost specification and we show that the irregular set for any $\beta$-shift or $\beta$-transformation is either empty or has full topological entropy and Hausdorff dimension.

연구 동기 및 목표

• . 거의 사양성 성질을 만족하는 사상에서 연속 관측량에 대한 비정상 집합이 공집합이거나 전체 위상 엔트로피를 가짐을 입증하는 것.
• . 전체 사양성 성질을 가진 시스템에 국한되지 않고 다중분포 분석 도구의 적용 범위를 확장하여, 특히 β-시프트와 β-변환에 적용하는 것.
• . β-시프트와 β-변환에서 비정상 집합이 공집합이거나 전체 위상 엔트로피 log β와 전체 하우스도르프 차원 1을 가짐을 보여주는 것.
• . 전체 사양성 없이도 적용 가능한 일반화된 카토 유형 엔트로피 공식과 거의 스트레칭 세트 기법을 개발하는 것.
• . 두 가지 방법—거의 사양성과 유한형 이동자에 의한 내부 근사—를 비교·분석하여 비정상 집합의 전체 엔트로피를 증명하는 데 사용되는 것.

제안 방법

• . g-거의 곱셈 성질보다 더 약한 조건인 '거의 사양성' 성질을 도입하여 궤도 접합 시 약간의 오차를 허용함.
• . 거의 스트레칭 세트와 강하게 분리된 세트를 활용한 일반화된 카토 엔트로피 공식을 개발함.
• . 거의 사양성 성질을 활용해 비정상 집합 내의 임의의 점을 제어 가능한 오차로 근사하는 궤도 세그먼트를 구성함.
• . 거의 사양성 설정에서 압력에 대한 변분 원리를 적용하여 엔트로피 상한을 유도함.
• . β-시프트를 유한형 이동자로 내부에서 근사하여 비정상 집합의 전체 엔트로피와 차원을 증명하는 데 다른 방법을 제공함.
• . 모든 β-시프트가 거의 사양성 성질을 만족함을 활용함—이는 전체 리만 측도에서 0인 집합을 제외한 모든 β 값에서 성립하며, 전체 사양성 성질보다 더 넓은 적용 범위를 가짐.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 거의 사양성 성질을 만족하는 시스템에서 연속 관측량에 대한 비정상 집합이 비어있지 않다면 전체 위상 엔트로피를 가질까?
• RQ2 . β-시프트와 β-변환에서 비정상 집합의 위상 엔트로피와 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ3 . 거의 사양성 방법과 유한형 이동자에 의한 내부 근사 방법을 모두 사용하여 비정상 집합의 전체 엔트로피를 입증할 수 있는가?
• RQ4 . 비정상적으로 하이퍼볼릭인 시스템인 β-변환과 같은 시스템에 대해 거의 사양성 성질은 전체 사양성 성질보다 더 넓은 적용 범위를 가지는가?
• RQ5 . g-거의 곱셈 성질(다시 이름 붙여서 '거의 사양성')은 다중분포 분석을 더 넓은 범위의 동역학 시스템으로 확장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• . 거의 사양성 성질을 만족하는 시스템에서 연속 관측량에 대한 비정상 집합은 공집합이거나 전체 위상 엔트로피를 가짐.
• . 모든 β-시프트 또는 β-변환에서 비정상 집합은 공집합이거나 정확히 위상 엔트로피 log β를 가짐.
• . β-시프트와 β-변환에서 비정상 집합은 비어있지 않으면 하우스도르프 차원 1을 가짐.
• . 거의 사양성 성질은 모든 β-시프트에서 성립하지만, 전체 사양성 성질은 리만 측도에서 0인 집합의 β 값에서만 성립함.
• . 본 논문에서 개발한 일반화된 카토 공식은 전체 사양성이 없는 시스템에서 엔트로피 추정에 활용 가능함.
• . 두 가지 서로 다른 접근 방식—거의 사양성 기반과 유한형 이동자에 의한 내부 근사—모두가 동일한 결과를 도출함: β-시프트에서 비정상 집합의 전체 엔트로피와 차원.