[논문 리뷰] Is it possible to formulate least action principle for dissipative systems?

Qiuping A. Wang, Wang Ru|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 30.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 24인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 진동하는 물체와 그 에너지를 수령하는 환경을 하나의 보존적 복합계로 간주함으로써 고산성 시스템에 대한 일반화된 최소작용 원리를 제안한다. 전체 해밀토니안에 환경의 에너지를 포함시키고, 국소적 라그랑지안 $ L = K_1 - V_1 - E_d $ 를 구성함으로써, 표준 변분법을 통해 정확한 감쇠 운동 방정식을 복원한다. 이는 오랫동안 해결되지 않았던 비보존적 시스템에 대한 문제를 해결한다.

ABSTRACT

A longstanding open question in classical mechanics is to formulate the least action principle for dissipative systems. In this work, we give a general formulation of this principle by considering a whole conservative system including the damped moving body and its environment receiving the dissipated energy. This composite system has the conservative Hamiltonian $H=K_1+V_1+H_2$ where $K_1$ is the kinetic energy of the moving body, $V_1$ its potential energy and $H_2$ the energy of the environment. The Lagrangian can be derived by using the usual Legendre transformation $L=2K_1+2K_2-H$ where $K_2$ is the total kinetic energy of the environment. An equivalent expression of this Lagrangian is $L=K_1-V_1-E_d$ where $E_d$ is the energy dissipated by the friction from the moving body into the environment from the beginning of the motion. The usual variation calculus of least action leads to the correct equation of the damped motion. We also show that this general formulation is a natural consequence of the virtual work principle.

연구 동기 및 목표

• 고전역학에서 고산성 시스템에 대한 최소작용 원리를 정립하는 데 오랫동안 지속된 과제를 해결하기 위해.
• 에너지 손실 환경을 시스템의 필수 부분으로 포함시킴으로써 최소작용 원리의 보편성을 복원하기 위해.
• 해밀토니안, 라그랑지안, 해밀턴-자비 방정식을 유지하는 고유한 에너지 연결 라그랑지안을 유도하기 위해.
• 환경의 에너지를 명시적으로 고려할 경우에도 변분 원리가 여전히 유효한지 보여주기 위해.
• 이 형식이 마찰 이외의 에너지 손실 메커니즘(예: 전자기 복사 또는 음향 방출)으로도 적용 가능한지 보여주기 위해.

제안 방법

• 감쇠되는 물체와 그 환경으로 구성된 복합 보존계를 설정하며, 총 해밀토니안은 $ H = K_1 + V_1 + H_2 $ 로 주어지며, 여기서 $ H_2 $ 는 환경의 에너지를 뜻한다.
• 레지오트르 변환을 통해 라그랑지안을 유도한다: $ L = 2K_1 + 2K_2 - H $ 로 표현되며, 이는 $ L = K_1 - V_1 - E_d $ 로 단순화되며, $ E_d $ 는 환경으로 방출된 총 에너지를 의미한다.
• 표준 변분법을 라그랑지안 $ L = K_1 - V_1 - E_d $ 에 적용하여 $ \ \delta A = \int_0^{t_b} \delta L \, dt = 0 $ 를 확보함으로써, 정확한 감쇠 운동 방정식을 도출한다.
• 다람베르의 허구적 일의 원리를 사용하여 동일한 작용 원리를 유도함으로써, 기본 역학 원리와의 일관성을 확인한다.
• 환경의 에너지 $ H_2 $ 를 비국소적 $ E_d $ 가 아닌 직접적인 표현으로 사용함으로써 라그랑지안의 시간에 대한 국소성을 확보하고, 변분 과정에서 유사한 고차항을 방지한다.
• 마찰을 넘어서 전자기 복사 또는 음향 방출과 같은 다른 에너지 손실 메커니즘으로도 이 접근을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 환경을 시스템의 일부로 포함시킴으로써 고산성 시스템에 대해 최소작용 원리를 일관적으로 제안할 수 있는가?
• RQ2 표준 변분법을 유지할 수 있는 고유하고 에너지 연결된 라그랑지안이 감쇠 운동에 존재하는가?
• RQ3 환경의 에너지 $ H_2 $ 를 포함시킴으로써 이전의 형식에서 나타나던 비유일성과 에너지 연결의 부재 문제가 어떻게 해결되는가?
• RQ4 감쇠력이 존재하는 상황에서 유도된 작용 원리는 허구적 일의 원리와 일관성이 있는가?
• RQ5 이 형식은 마찰을 넘어서 전자기 복사나 음향과 같은 다른 에너지 손실 메커니즘으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 라그랑지안 $ L = K_1 - V_1 - E_d $ 는 표준 변분법을 통해 정확한 감쇠 운동 방정식을 성공적으로 재현한다.
• 이 형식은 작용 $ A = \int_0^{t_b} L \, dt $ 가 $ \delta A = 0 $ 를 만족함으로써, 고산성 시스템에 대한 최소작용 원리를 복원한다.
• 환경의 에너지를 $ H_2 $ 로 직접 표현함으로써 비국소적 의존성을 피하고, 변분 과정에서 유사한 고차항을 방지한다.
• 유도된 라그랑지안은 고유하고 에너지 연결되어 있으며, 이전의 방법에서 사용된 가상의 라그랑지안 $ e^{\zeta t}(K - V) $ 와는 달리 그러한 특성을 지닌다.
• 허구적 일의 원리와의 일관성이 확인되었으며, $ \delta A = 0 $ 이 $ \int (f_c + f_d - m\ddot{x}) \delta x \, dt = 0 $ 로부터 도출됨을 보여주었다.
• 이 접근은 마찰에 국한되지 않고, 전자기 복사나 음향 방출과 같은 다른 에너지 손실 메커니즘으로도 일반화 가능하다.