[논문 리뷰] Is Lipschitz Continuity Preserved under Sampled-Data Discretization?

Masoud Abbaszadeh|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 27.

Control Systems and Identification참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비선형 연속시간 시스템의 제로오더홀드(ZOH) 기반 근사 이산화 과정에서 리프시츠 연속성이 유지되는지 조사한다. 연속시간 상수, 시스템 행렬 노름, 샘플링 시간, 야코비안 도함수를 바탕으로 이산시간 리프시츠 상수 및 일방적 리프시츠 상수에 대한 해석적 표현을 유도하며, 유한 조건 하에서 명시적 오차 한계를 포함해 성질이 유지됨을 보여준다.

ABSTRACT

Usually, given a continuous-time nonlinear model, a closed form solution for an exact discretization cannot be found explicitly, originating the need of approximating discrete-time models. This note studies the preservation of the Lipschitz continuity under approximate discretizations.

연구 동기 및 목표

• 비선형 연속시간 시스템의 리프시츠 연속성 성질이 ZOH 기반 근사 이산화 과정에서 유지되는지 분석하기.
• 표준 리프시츠 연속성보다 더 덜 엄격한 일방적 리프시츠 조건으로 분석을 확장하기.
• 연속시간 파rameter를 기반으로 이산시간 리프시츠 상수에 대한 명시적 해석적 표현 유도하기.
• 샘플드 데이터 제어 시스템에서 안정성 및 성능 보장의 유지에 대한 정량적 경계 제공하기.
• 이산화 과정에서 연속성 유지 보장을 통해 고차 근사 모델을 제어 설계에 활용할 수 있도록 지원하기.

제안 방법

• ZOH 가정 하에 각 샘플링 간격 내 연속시간 시스템 해의 테일러-라이 급수 전개를 사용한다.
• 시스템 동역학의 연속적인 시간 도함수를 이용해 최대 3차까지의 근사 이산시간 모델을 유도한다.
• 행렬 노름 및 내적 성질을 적용해 이산시간에서 리프시츠 조건을 경계한다.
• 시스템 행렬 A의 유도 노름과 야코비안 ∂f/∂x의 스펙트럴 노름을 사용해 상태 차이의 성장도를 정량화한다.
• 이산시간 리프시츠 상수 γd가 T, γc, ∥A∥ 및 고차 도함수에 대한 함수로 표현된 경계를 수립한다.
• ρc와 γc에 모두 의존하는 일방적 리프시츠 상수 ρd에 대한 별도의 표현을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ZOH 이산화를 통해 유도된 근사 이산시간 모델에서 표준 양방향 리프시츠 연속성 조건이 유지되는가?
• RQ2 동일한 이산화 과정에서 일방적 리프시츠 조건도 유지될 수 있으며, 이는 양방향 경우와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 ZOH 하에서 연속시간 리프시츠 상수와 이산시간 상수 간의 해석적 관계는 무엇인가?
• RQ4 샘플링 시간 T와 시스템 행렬 노름은 이산화된 모델에서 리프시츠 연속성 유지에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 2차 및 3차 근사 모델에서 이산시간 리프시츠 상수에 대한 명시적 표현은 무엇인가?

주요 결과

• 2차 근사 모델의 경우, 이산시간 이중방향 리프시츠 상수 γd는 Tγc + T²(∥A∥γc + γc²/2)로 경계된다.
• 3차 모델의 경우, γd는 2차 도함수 노름 β와 함수 노름 M을 포함한 추가 항을 포함하며, T³에 명시적 의존성을 가진다.
• 일방적 리프시츠 상수 ρd는 Tρc + (T²/2)∥A∥(ρc + γc + ρcγc)로 표현되며, 일방적 및 이중방향 상수 간의 결합을 보여준다.
• 이산 리프시츠 상수는 샘플링 시간 T에 대해 선형적으로 증가하지만, 고차항은 시스템 행렬 및 야코비안 노름에 의존한다.
• 결과적으로 연속시간 시스템이 조건을 만족하고 T가 충분히 작을 경우, 리프시츠 연속성이 ZOH 이산화 과정에서도 유지됨을 확인한다.
• 유도된 경계는 샘플드 데이터 비선형 시스템에서 안정성 분석 및 LMI 기반 제어기 설계의 기초를 제공한다.