[논문 리뷰] Is set theory indispensable?

Nik Weaver|ArXiv.org|2009. 05. 11.

Philosophy and Theoretical Science참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 주류 수학이나 과학에 Zermelo-Fraenkel 집합론과 선택공리(이하 ZFC)가 필수적이라고 주장하지 않으며, 모든 이러한 수학은 더 약한, 예측가능한 체계로 형식화될 수 있음을 주장한다. 이러한 체계는 철학적으로 더 타당하고 철학적·실재론적 commitment이 덜하다. 주요 기여는 집합론적 실재론과 Quine-Putnam의 불가피성 주장에 대한 비판이며, ZFC가 탄탄한 철학적 기초를 지니지 못하고 오히려 수론적 진술을 잘못 증명할 수도 있다는 결론을 이끌어낸다.

ABSTRACT

Although Zermelo-Fraenkel set theory (ZFC) is generally accepted as the appropriate foundation for modern mathematics, proof theorists have known for decades that virtually all mainstream mathematics can actually be formalized in much weaker systems which are essentially number-theoretic in nature. Feferman has observed that this severely undercuts a famous argument of Quine and Putnam according to which set theoretic platonism is validated by the fact that mathematics is "indispensable" for some successful scientific theories (since in fact ZFC is not needed for the mathematics that is currently used in science). I extend this critique in three ways: (1) not only is it possible to formalize core mathematics in these weaker systems, they are in important ways better suited to the task than ZFC; (2) an improved analysis of the proof-theoretic strength of predicative theories shows that most if not all of the already rare examples of mainstream theorems whose proofs are currently thought to require metaphysically substantial set-theoretic principles actually do not; and (3) set theory itself, as it is actually practiced, is best understood in formalist, not platonic, terms, so that in a real sense *set theory is not even indispensable for set theory*. I also make the point that even if ZFC is consistent, there are good reasons to suspect that some number-theoretic assertions provable in ZFC may be false. This suggests that set theory should not be considered central to mathematics.

연구 동기 및 목표

• Zermelo-Fraenkel 집합론과 선택공리(ZFC)가 수학의 기초로 삼는 철학적 정당성을 도전하기.
• 과학과 주류 수학이 실제로 집합론을 필요로 하지 않기 때문에 Quine-Putnam의 불가피성 주장이 실패함을 주장하기.
• 거의 모든 주류 수학, 과학적으로 적용 가능한 수학까지도 예측가능한 수론적 체계로 형식화할 수 있음을 보여주기.
• 현재 실천되고 있는 집합론이 실재론적 해석보다는 형식주의적 해석이 더 타당하며, 이는 그 기초적 지위를 약화시킴을 보여주기.
• ZFC에서 증명 가능한 수론적 진술 중 예측가능한 체계에서는 증명되지 않는 것들에 대해 진술의 진리성에 의문을 제기하며, ZFC가 잘못된 산술을 증명할 수 있음을 시사하기.

제안 방법

• 예측가능한 체계의 증명 이론적 강도를 분석하고, 주류 수학을 형식화하는 데 있어 ZFC와의 비교를 수행하기.
• 증명 이론과 역행수학의 결과를 적용하여, '집합론적 원리'가 필요한 대부분의 정리가 더 약한 예측가능한 체계로 형식화될 수 있음을 보여주기.
• 집합의 반복적 개념이 무한 또는 비가산 집합에 적용될 때 비논리적인 물리주의적 은유(예: 집합의 멱집합을 조작하는 방식)에 의존한다는 비판을 제기하기.
• 집합론적 실재론의 인지론적 및 존재론적 문제를 검토하며, 특히 추상적 집합을 어떻게 안다는 명확한 설명이 부족하다는 점을 지적하기.
• ZFC의 일致성과 진리성을 평가하기 위해 표준 ω를 갖는 모델가 존재하는지 분석하며, 특별한 정당성이 없이선 그러한 모델가 존재할 가능성은 낮다고 주장하기.
• Löwenheim-Skolem 정리를 사용하여, 비가산적 구조는 집합론을 전제하지 않고는 의미적으로 기술될 수 없으며, 이는 물리적 또는 직관적 접근 가능성에 대한 주장을 약화시킴을 주장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Zermelo-Fraenkel 집합론과 선택공리(ZFC)는 주류 수학이나 과학적 응용에 실제로 필수적인가?
• RQ2 ZFC의 전반적인 강도는 더 철학적으로 타당하고 여전히 핵심 수학을 형식화하는 데 충분한 더 약한 예측가능한 체계로 대체될 수 있는가?
• RQ3 과학과 수학이 실제로 집합론이 필요로 하지 않기 때문에, Quine-Putnam의 불가피성 주장이 집합론적 실재론을 성공적으로 정당화할 수 있는가?
• RQ4 ZFC가 예측가능한 체계에서 증명되지 않는 진술들만을 증명하는 경우, ZFC가 참인 수론적 진술만을 증명한다는 철학적 근거는 있는가?
• RQ5 집합론은 실재론 없이 이해되고 실천될 수 있으며, 만약 그렇다면 이는 그 기초적 지위를 약화시키는가?

주요 결과

• 주류 수학, 과학에서 사용되는 수학까지도 예측가능한 체계인 CM과 같은 체계로 형식화할 수 있으며, ZFC만큼 우아하고 사용하기 좋다.
• ZFC는 표준 ω를 갖는 모델를 갖지 못할 가능성이 매우 높기 때문에, 특히 예측가능한 체계에서 증명되지 않는 수론적 진술들에 대해 잘못된 진술을 증명할 가능성이 높다.
• Quine-Putnam의 불가피성 주장은 실패한다. 과학은 실제로 집합론에 의존하지 않으며, 과학에서 사용되는 수학은 본질적으로 수론적이고 예측가능하다.
• 현재 실천되고 있는 집합론은 대부분 형식주의적 성격을 띠며, 실재론이 없이도 정당화될 수 있어, 철학적 실재론적 기초가 필요 없음을 보여준다.
• 집합의 반복적 개념은 무한 또는 비가산 집합에 적용될 때 비논리적인 물리주의적 은유(예: 멱집합을 조작하는 방식)에 의존한다.
• 연속체 가설과 같은 결정 불가능한 질문이 집합론에 존재하는 데 반해, 수론에서는 이러한 문제가 없기 때문에, 집합론 진술의 진리값에 대한 광범위한 의심이 존재한다.