[논문 리뷰] Is Volatility Rough ?

Masaaki Fukasawa, Tetsuya Takabatake외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 13.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 24인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 휠틀 근사와 실현 변동성 기반의 준우도 추정기(quasi-likelihood estimator)를 개발하여, 확률적 변동성이 실제로 난류적인가, 즉 허스트 매개수 H < 0.5인 분수 Brown 운동에 의해 구동되는가를 통계적으로 검증한다. 이 방법은 고주파수 점점 증가하는 점근적 조건 하에서 일致성을 입증하고, 실제로 변동성이 난류적임을 실증적으로 입증하며, H ≈ 0.1258로 추정되어 이전의 결과를 확인하고 보완한다. 또한 잠재된 변동성 오차로 인한 추정 편향 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Rough volatility models are continuous time stochastic volatility models where the volatility process is driven by a fractional Brownian motion with the Hurst parameter smaller than half, and have attracted much attention since a seminal paper titled "Volatility is rough" was posted on SSRN in 2014 showing that the log realized volatility time series of major stock indices have the same scaling property as such a rough fractional Brownian motion has. We however find by simulations that the impressive approach tends to suggest the same roughness irrespectively whether the volatility is actually rough or not; an overlooked estimation error of latent volatility often results in an illusive scaling property. Motivated by this preliminary finding, here we develop a statistical theory for a continuous time fractional stochastic volatility model to examine whether the Hurst parameter is indeed estimated smaller than half, that is, whether the volatility is really rough. We construct a quasi-likelihood estimator and apply it to realized volatility time series. Our quasi-likelihood is based on the error distribution of the realized volatility and a Whittle-type approximation to the auto-covariance of the log-volatility process. We prove the consistency of our estimator under high frequency asymptotics, and examine by simulations its finite sample performance. Our empirical study suggests that the volatility is indeed rough; actually it is even rougher than considered in the literature.

연구 동기 및 목표

• 기존 방법에서 잠재된 변동성 추정 오차로 인해 변동성의 난류성에 대한 과대평가가 발생할 수 있는 문제를 해결하기 위해.
• 난류 확률적 변동성 모형에서 허스트 매개수 H를 위한 통계적으로 엄밀하고 고주파수 일致성 있는 추정기 개발하기 위해.
• 실현 변동성 자료에서 관찰된 경험적 척도 성질이 실제로 H < 0.5인 분수 Brown 운동을 반영하는가를 검증하기 위해.
• 유한 표본 성능 향상을 위해 오차 분포 모델링과 Whittle 근사를 통합하여 이전 접근법을 개선하기 위해.

제안 방법

• 실현 변동성의 오차 분포와 로그 변동성의 자기공분산에 대한 Whittle 유사 근사를 활용한 준우도 추정기 제안.
• 주기적 밀도의 스펙트럼 밀도 근사를 통해 로그 실현 분산의 주기도(periodogram)를 근사하는 스펙트럼 접근법 적용.
• 특히 영 주파수 근처에서 추정 함수의 근사를 도출하기 위해 테일러 전개와 점근적 분석을 사용.
• 스펙트럼 밀도 역수의 푸리에 급수 전개에 대한 잘라내기 전략(truncation strategy)을 통해 근사 오차를 통제.
• 극한 정리와 연속성 사상 원리에 기반하여 고주파수 점점 증가하는 점근적 조건 하에서 추정기의 일치성 입증.
• 시뮬레이션을 통해 방법을 검증하고, 옥스포드-맨 연구소에서 제공한 SPX 5분 실현 변동성 자료에 적용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실제 데이터에서 관찰되는 변동성의 난류성은 잠재된 변동성 추정 오차로 인한 산물일 수 있는가?
• RQ2 일관되고 고주파수 기반의 통계적 방법으로 추정했을 때, 허스트 매개수 H가 실제로 0.5 미만인가, 즉 변동성이 난류적인가?
• RQ3 제안된 Whittle 유사 준우도 추정기는 기존 방법에 비해 유한 표본에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 로그 실현 분산 자료에서 관찰된 척도 성질은 실제로 H < 0.5인 진정한 분수 Brown 운동을 반영하는가?

주요 결과

• 제안된 준우도 추정기는 고주파수 점점 증가하는 점근적 조건 하에서 일치성을 확보하여, 표본 빈도가 증가할수록 신뢰할 수 있는 추정이 가능하다.
• 시뮬레이션 결과 추정기가 양호한 유한 표본 성능을 보이며, 잠재된 변동성 추정 오차로 인한 편향을 감소시킨다.
• 2000–2018년 기간의 SPX 5분 실현 변동성 자료에 대한 실증 분석에서 H ≈ 0.1258을 도출하여, 이전에 보고된 것보다 더 높은 난류성을 확인한다.
• 본 연구는 이전 방법들이 변동성 추정치의 고려하지 않은 오차로 인해 난류성을 과대 평가할 수 있음을 드러낸다.
• Whittle 방법을 통한 스펙트럼 근사는 데이터의 장기 기억성 유사 행동을 효과적으로 포착하면서도 짧은 범위의 의존성도 정확히 식별한다.