[논문 리뷰] Isocategorical groups

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki|ArXiv.org|2000. 07. 31.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 5인용 수 34

한 줄 요약

이 논문은 유한군의 표현 범주가 텐서 범주로서 동치이지만, 그 군들이 동형이 아니더라도 되는 '등치카테고리적 유한군'의 개념을 도입한다. 특성 2에서의 심플렉틱 군을 이용한 구성 방법을 통해 그러한 군이 존재한다는 것을 증명하고, 군 코homology와 아벨 정규부분군 위의 불변 비대칭 형식을 이용해 주어진 군과 등치카테고리적인 모든 군을 분류한다.

ABSTRACT

It is well known that if two finite groups have the same symmetric tensor categories of representations over C, then they are isomorphic. We study the following question: when do two finite groups G1,G2 have the same tensor categories of representations over C (without regard for the commutativity constraint). We call two groups with such property isocategorical. We give an example of two groups which are isocategorical but not isomorphic: the affine symplectic group of a vector space over the field of two elements, and an appropriate "affine pseudosymplectic group" introduced by R.Griess (containing the "pseudosymplectic group" of A.Weil). On the other hand, we give a classification of groups isocategorical to a given group. In particular, we show that if G has no nontrivial normal subgroups of order 2^{2m} then any group isocategorical to G must actually be isomorphic to G. The proofs use the theory of triangular Hopf algebras. We also apply the notion of isocategorical groups to studying the question: when are two triangular semisimple Hopf algebras isomorphic as Hopf algebras?

연구 동기 및 목표

• 유한군의 표현 범주가 텐서 범주로서 동치이면 그 군이 동형으로 유일하게 결정되는지 조사한다.
• 그로텐디크 링과 전체 텐서 범주 사이의 중간적인 구조가 군을 여전히 결정하는지 밝힌다.
• 서로 동형이 아닌 유한군이 텐서 범주로서 동치인 표현 범주를 가질 수 있는지 구성한다.
• 주어진 유한군과 등치카테고리적인 모든 군을 군론적 조건으로 분류한다.
• 군이 카테고리적으로 강한(즉, 등치카테고리적임이 동형임을 의미함) 조건을 설정한다.

제안 방법

• 유한군의 표현 범주가 대칭을 유지하지 않더라도 텐서 범주로서 동치일 경우 이를 등치카테고리적 군으로 정의한다.
• 순서가 $ 2^{2m} $인 정규 아벨 부분군 $ A $와 $ G $-불변 비대칭 동형사상 $ R: A^\flat \to A $를 사용하여 $ H^2(A^\flat, \mathbb{C}^*)^K $에 해당하는 클래스를 유도한다.
• 2-코호모로지와 코 boundary 조건을 이용해 $ \tau: H^2(A^\flat, \mathbb{C}^*)^K \to H^2(K, A) $의 준동형사상을 구성한다.
• $ \tilde{b} $가 $ \tau $로부터 유도된 것으로서, $ \gamma_1 * \gamma_2 := \tilde{b}(\bar{\gamma}_1, \bar{\gamma}_2) \gamma_1 \gamma_2 $의 형태로 새로운 군의 곱을 정의하여 $ G_b $를 구성한다.
• 그들의 표현 범주 사이의 텐서 동치를 통해 $ G_b $가 $ G $와 등치카테고리적임을 보인다.
• 함수 공간 $ Y $ 위의 Weil 표현을 사용하여 $ \mathrm{APs}(V) $는 낮은 차원의 프로젝티브 표현을 가지지만 $ \mathrm{ASp}(V) $는 그렇지 않음을 보여, 비동형임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 동형이 아닌 두 유한군이 텐서 범주로서 동치인 표현 범주를 가질 수 있는가?
• RQ2 등차카테고리적 군을 분류하는 데 필요한 군론적 조건은 무엇인가?
• RQ3 군이 카테고리적으로 강한(즉, 등치카테고리적임이 동형임을 의미함) 조건은 무엇인가?
• RQ4 등치카테고리적 표현 범주를 공유함에도 불구하고, 낮은 차원의 프로젝티브 표현의 존재가 $ \mathrm{APs}(V) $와 $ \mathrm{ASp}(V) $를 구별할 수 있는가?
• RQ5 Weil 표현은 어떻게 $ \mathrm{APs}(V) $로 확장되며, 이는 군의 구조에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 서로 동형이 아닌 유한군 $ G $와 $ G_b $가 존재하며, 그들의 표현 범주는 텐서 범주로서 동치이다. 이는 텐서 범주가 군을 유일하게 결정한다는 생각에 대한 반례를 제공한다.
• $ G_b = \mathrm{APs}(V) $는 특성 2에서의 체 위에서 $ \mathrm{Sp}(V) $에 의해 $ V $로의 비자명한 확장으로서 구성된 군으로, $ G = \mathrm{Sp}(V) \ltimes V $와 등치카테고리적이지만, 동형이 아니다.
• 편의스펙트릭 군 $ \mathrm{Ps}(V) $의 Weil 표현은 $ \mathrm{APs}(V) $로 확장되지만 $ \mathrm{ASp}(V) $로는 확장되지 않으며, 이는 $ \mathrm{APs}(V) \not\cong \mathrm{ASp}(V) $임을 의미한다.
• 주어진 군 $ G $와 등치카테고리적인 모든 군은 순서가 $ 2^{2m} $인 정규 아벨 부분군 $ A $, $ G $-불변 비대칭 동형사상 $ R: A^\vee \to A $, 그리고 관련된 클래스 $ \tau(\bar{R}) \in H^2(K, A) $를 포함하는 코homological 구성으로 분류할 수 있다.
• 유한군이 카테고리적으로 강할 조건은, $ 2^{2m} $의 순서를 가진 $ G $-불변 비대칭 동형사상 $ A^\vee \to A $를 갖는 정규 아벨 부분군이 존재하지 않을 때이다. 이는 퀼러터 군이 강하다는 이유를 설명한다.
• $ \dim(Y) \geq 4 $일 경우, $ \mathrm{Sp}(V) $와 $ \mathrm{ASp}(V) $는 차원 $ 2^{\dim(Y)} $의 비자명한 프로젝티브 표현을 가지지 않지만, $ \mathrm{APs}(V) $는 그러한 표현을 가지며, 이는 비동형임을 증명하고, 텐서 동치가 프로젝티브 표현으로까지 확장되지 않음을 보여준다.