[논문 리뷰] Isogeny graphs of superspecial abelian varieties and generalized Brandt matrices

Bruce W. Jordan, Yevgeny Zaytman|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 18.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 특성 $p$에서 $g$차원의 주로 극단적으로 편광된 초특수 아벨 다양체의 $(\ell)^g$-이소지 그래프를 연구하며, 강력한 근사법을 통해 그 연결성을 증명한다. 이 그래프들이 일반적으로 라만두잔이 아니라는 것을 보이며, 그 인접행렬이 아이하라, 하시모토, 이부키야마의 의미에서 일반화된 브란트 행렬임을 규명한다. 이는 타원곡선의 고전 이론을 고차원으로 확장한 것이다.

ABSTRACT

Fix primes $p$ and $\ell$ with $\ell eq p$. If $(A,P)$ is a principally polarized abelian variety, an $(\ell)^g$-isogeny of $(A,P)$ has kernel a maximal isotropic subgroup of the $\ell$-torsion of $A$; the image has a natural principal polarization. It is well known that the $\ell$-isogeny graph for supersingular elliptic curves in characteristic $p$ is connected and Ramanujan. Its adjacency matrix is the Brandt matrix $B(\ell)$ for the definite quaternion algebra $\mathbb{H}=\mathbb{H}_{p,\infty}$ ramified at $p$ and $\infty$. In this paper we study the dimension-$g$ analogue: the $(\ell)^g$-isogeny graphs of dimension-$g$ principally polarized superspecial abelian varieties in characteristic $p$. We prove using Strong Approximation that these graphs are connected. We then give an example to show that these graphs are not in general Ramanujan. The adjacency matrix of these $(\ell)^g$-isogeny graphs is a generalized Brandt matrix as defined by Ihara, Hashimoto, and Ibukiyama. We study some basic properties of these matrices.

연구 동기 및 목표

• 초특수 타원곡선의 $\ell$-이소지 그래프 이론을 고차원 초특수 아벨 다양체로 확장하기.
• 차원 $g \geq 2$에서 $(\ell)^g$-이소지 그래프의 연결성과 스펙트럼 성질을 조사하기.
• 이 그래프들의 인접행렬이 아이하라, 하시모토, 이부키야마의 의미에서 일반화된 브란트 행렬임을 특성화하기.
• 이 고차원 이소지 그래프들이 고전적 경우와 유사하게 라만두잔 성질을 유지하는지 판단하기.

제안 방법

• 정정된 히브리드 대수 $\mathbb{H}_{p,\infty}$의 곱셈군 맥락에서 강력한 근사법을 사용하여 $(\ell)^g$-이소지 그래프의 연결성을 증명한다.
• 이소지 그래프의 인접행렬이 고전적 브란트 행렬 구성법을 1차원에서 고차원으로 확장한 일반화된 브란트 행렬임을 규명한다.
• 초특수 아벨 다양체의 $\ell$- torsion 내의 최대 자기 이sovotropic 부분군의 구조를 활용하여 $(\ell)^g$-이소지스를 정의한다.
• 이러한 일반화된 브란트 행렬의 스펙트럼 성질을 분석하여 그래프가 라만두잔인지 평가한다.
• 고차원에서조차 일반적으로 라만두잔이 아니라는 것을 보여주는 구체적 반례를 구성한다.
• 특히 초특수 아벨 다양체와 관련된 정정된 히브리드 대수와 그 정수환의 이론에서 알려진 결과에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 $p$에서 $g$차원 초특수 아벨 다양체의 $(\ell)^g$-이소지 그래프는 $g > 1$일 때 연결되어 있는가?
• RQ2 이 고차원 이소지 그래프들은 라만두잔 성질을 만족하는가, 즉 그 고유값들이 라만두잔 그래프의 스펙트럼 반경 범위 내에 있는가?
• RQ3 이 그래프들의 인접행렬은 아이하라, 하시모토, 이부키야마가 정의한 일반화된 브란트 행렬과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 타원곡선에 대한 고전적 브란트 행렬 이론을 $g \geq 2$ 차원의 아벨 다양체로 확장할 수 있는가?
• RQ5 초특수 아벨 다양체의 맥락에서 이러한 일반화된 브란트 행렬이 가지는 구조적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• $(\ell)^g$-이소지 그래프는 강력한 근사법을 통해 특성 $p$에서 $g$차원 초특수 아벨 다양체에 대해 연결되어 있음이 입증되었다.
• 이 그래프들의 인접행렬은 아이하라, 하시모토, 이부키야마의 의미에서 일반화된 브란트 행렬이다.
• 구체적 반례를 통해 $g > 1$일지라도 일반적으로 라만두잔이 아니라는 것이 입증되었다.
• 일반화된 브란트 행렬의 스펙트럼 성질을 분석하여, 고차원에서는 라만두잔 경계가 성립하지 않음을 보였다.
• $(\ell)^g$-이소지스의 구성은 아벨 다양체의 $\ell$- torsion 내의 최대 자기 이sovotropic 부분군에 기반하며, 이미지의 주로 극단적 편광을 유지한다.
• 초특수 타원곡선의 $\ell$-이소지 그래프에 대한 고전 이론을 고차원 아벨 다양체로 확장하였으며, 스펙트럼 행동에서 중요한 차이를 드러냈다.