[논문 리뷰] Isolated initial singularities for the viscous Hamilton-Jacobi equation

Bidaut-Véron, Marie-Françoise, Nguyen Anh Dao|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 09.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $q \geq q_* = (N+2)/(N+1)$ 일 때, $\mathbb{R}^N$ 또는 유계 도메인에서 점성 힘학-자코비 방정식 $u_t - \Delta u + |\nabla u|^q = 0$의 고립된 초기 특이점이 제거 가능하다는 것을 증명한다. $1 < q < q_*$ 일 때 매우 특이한 해(VSS)의 존재성과 유일성을 입증하고, 원점에서의 초기 데이터 집중도에 따라 모든 음이 아닌 약한 해를 완전히 분류한다. 이는 해가 식별적으로 0이거나, VSS이거나, $k>0$에 대해 $k\delta_0$의 초기 데이터를 가진 해임을 보여준다. 주요 기여는 이 계열의 비선형 포아르비우스 방정식에서 초기 특이점의 완전한 해 구조를 제시한 것이다.

ABSTRACT

Here we study the nonnegative solutions of the viscous Hamilton-Jacobi equation [u_{t}-\\Delta u+|\ abla u|^{q}=0] in $Q_{\\Omega,T}=\\Omega\ imes(0,T),$ where $q&gt;1,T\\in(0,\\infty] ,$ and $\\Omega$ is a smooth bounded domain of $\\mathbb{R}% ^{N}$ containing $0,$ or $\\Omega=\\mathbb{R}^{N}.$ We consider solutions with a possible singularity at point $(x,t)=(0,0).$ We show that if $q\\geq q_{\\ast}=(N+2)/(N+1)$ the singularity is removable.

연구 동기 및 목표

• 비선형 포아르비우스 방정식에서 $1 < q < q_* = (N+2)/(N+1)$ 일 때, 매우 특이한 해(VSS)의 존재성과 유일성에 대한 오랜 동안 미해결된 문제를 해결한다.
• 일반선형성에 의한 고전 결과를 기울기 비선형성으로 확장하여, $q \geq q_*$ 일 때 $(0,0)$에서 고립된 초기 특이점의 제거 가능성을 확립한다.
• 유계 도메인 $\Omega$에서 초기 특이점이 원점에 있는 딜리클레 문제의 모든 음이 아닌 약한 해를 완전히 분류한다.
• $\mathbb{R}^N$과 유계 도메인에서의 해를 동일한 프레임워크로 통합하기 위해, 세 가지 가능한 해 유형—0, VSS, 또는 초기 데이터 $k\delta_0$를 가진 해—를 식별한다.

제안 방법

• 국소 $L^1$ 및 $L^q$-기울기 적분 가능성 조건을 만족하는 약한 해의 개념을 도입하고, 분포 의미에서 방정식을 만족함을 보인다.
• 일반적인 추정과 정규성 결과를 확립하여, 에너지 및 비교 기법을 통해 $q \leq 2$ 일 때 $C^{2,1}$-연속성을 입증한다.
• 특이점 근처 및 무한대에서 해를 통제하기 위해 초해석 $Y_\eta^\Omega$ 및 $Y_\eta$를 구축하여 장벽으로 사용한다.
• 수축하는 도메인에서의 비교 원리와 초기 데이터의 매끄러운 근사 $k\rho_\varepsilon$를 사용하여 극한으로의 전이를 분석한다.
• 자기의 추적 결과와 $\eta \to 0$ 일 때 $Y_\eta^\Omega$의 수렴을 이용하여 최대 VSS $Y^\Omega$를 도출하고, 극한 비교를 통해 유일성을 증명한다.
• 초기 데이터 $k\delta_0$를 가진 해의 극한 $k \to \infty$를 이용하여 VSS $U^\Omega$를 정의하고 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 For $1 < q < q_*$, does a unique very singular solution exist in $\mathbb{R}^N$ and in bounded domains $\Omega$?
• RQ2 For $q \geq q_*$, is the isolated initial singularity at $(0,0)$ removable, i.e., does every solution extend smoothly to $t=0$?
• RQ3 What is the complete structure of all nonnegative weak solutions to the Dirichlet problem in $Q_{\Omega,\infty}$ with initial singularity at the origin?
• RQ4 Can the maximal very singular solution in a bounded domain be characterized as the pointwise limit of solutions with compactly supported initial data?

주요 결과

• For $q \geq q_* = (N+2)/(N+1)$, any nonnegative solution satisfying $\lim_{t\to 0}\int_\Omega u(\cdot,t)\varphi\,dx = 0$ for all $\varphi \in C_c(\Omega \setminus \{0\})$ is smooth up to $t=0$, i.e., the singularity is removable.
• For $1 < q < q_*$, there exists a unique very singular solution $U^\Omega$ in $Q_{\Omega,\infty}$ for bounded $\Omega$, satisfying $\lim_{t\to 0}\int_{B_r} u(\cdot,t)\,dx = \infty$ for all $r>0$.
• In bounded domains, every nonnegative weak solution of the Dirichlet problem is either identically zero, equal to the maximal very singular solution $U^\Omega$, or equals the solution $u^{k,\Omega}$ with initial data $k\delta_0$ for some $k>0$.
• The maximal very singular solution $Y^\Omega$ in a bounded domain $\Omega$ is the pointwise limit of $Y_\eta^\Omega$ as $\eta \to 0$, and satisfies $Y^\Omega \leq Y$ where $Y$ is the VSS in $\mathbb{R}^N$.
• Uniqueness of the VSS $U^\Omega$ is proven by comparison: any VSS $u$ satisfies $u \leq Y^\Omega$, and $Y^\Omega$ is the smallest such supersolution, hence $u = Y^\Omega$.
• The solution structure in $\mathbb{R}^N$ is fully classified: any solution is either zero, the VSS $U$, or a solution with initial data $k\delta_0$ for $k>0$, with uniqueness in each class.