[논문 리뷰] Isolated points in the space of left orderings of a group

Adam Clay|ArXiv.org|2008. 12. 12.

Finite Group Theory Research참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 군의 왼쪽 순서 공간 내에서 고립점들을 조사하며, 이전 결과를 가산기수를 초월하는 군으로 확장한다. 밀도가 있는 왼쪽 순서는 고립점이 될 수 없으며, 밀도가 있는 순서들의 폐포는 코너트 집합과 동형인 조밀한 $G_{\delta}$ 부분집합임을 증명한다. 브레인드 군의 경우, 디혼로 순서가 그 공액의 집적점임을 보이며 고립점이 아니지만, 이는 이 순서가 이산적임에도 불구하고 그렇다.

ABSTRACT

Let G be a left orderable group and LO(G) the space of all left orderings. We investigate the circumstances under which a left ordering < of G can correspond to an isolated point in LO(G), in particular we extend known results to cover the case of uncountable groups. With minor technical restrictions on the group G, we also find that no dense left ordering is isolated in LO(G), and that the closure of the set of all dense left orderings of G yields a dense G-delta set within a Cantor set of left orderings in LO(G). Lastly, we show that certain conditions on a discrete left ordering of G can guarantee that it is not isolated in LO(G), and we illustrate these ideas using the Dehornoy ordering of the braid groups.

연구 동기 및 목표

• 군 $G$의 왼쪽 순서가 공간 $LO(G)$ 내에서 고립점이 되는 조건을 규명하는 것, 특히 가산기수를 초월하는 군에 대해.
• [9]의 주요 결과인 고립된 왼쪽 순서에 대한 일반화를 약간의 기술적 제약 조건 하에 가산기수를 초월하는 군으로 확장하는 것.
• $LO(G)$의 위상적 구조를 분석하는 것, 특히 밀도가 있는 순서와 이산적 순서의 역할을 중심으로.
• 브레인드 군의 디혼로 순서가 고립점인지 여부를 공액 동역학과 볼록부분군의 구조를 통해 조사하는 것.
• 이산적 왼쪽 순서가 고립점이 되지 않는 조건을 그 볼록부분군의 구조에 기반하여 특성화하는 것.

제안 방법

• 왼쪽 순서의 양의 원소 집합 표현을 사용하여 $LO(G)$를 $2^G$의 닫힌 부분공간으로 식별하고, 곱위상수를 적용한다.
• 군 $G$의 작용을 $LO(G)$에 공액을 통한 양의 원소 집합에 의해 정의하고, 궤도의 집적점 분석을 수행한다.
• 콘라디언 영혼 $C_< (G)$와 이중순서 볼록부분군 $B_< (G)$를 이용해 고립성을 탐지하는 불변량으로 활용한다.
• 디혼로 순서의 부분어구 성질(성질 S)을 적용: $\alpha \in B_n^+$, $\beta \in B_n$ 이면 $\beta \alpha \beta^{-1} \in P_D$.
• 이동 준동형사상 $sh: B_m \to B_n$ ($m < n$)을 사용하여 볼록부분군을 이동된 브레인드 군으로 식별한다.
• 디혼로 순서 내 모든 볼록부분군이 $sh^r(B_{n-r})$와 동형이며, $\langle \sigma_{n-1} \rangle$를 제외한 나머지는 모두 이중순서 가능하지 않음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군의 왼쪽 순서가 $LO(G)$ 내에서 고립점이 되는 조건은 무엇인가, 특히 가산기수를 초월하는 군에 대해?
• RQ2 브레인드 군 $B_n$의 디혼로 순서가 $LO(B_n)$ 내에서 고립점이 될 수 있는가?
• RQ3 가산군 $G$의 밀도가 있는 왼쪽 순서들의 집합은 어떤 위상적 구조를 갖는가?
• RQ4 이산적 왼쪽 순서가 고립점이 되지 않는 조건는 무엇이며, 그 볼록부분군의 구조는 이에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 밀도가 있는 순서들의 집합의 폐포가 $LO(G)$ 내에서 코너트 집합을 형성하는가, 그리고 어떤 조건에서 그러한 성립이 가능한가?

주요 결과

• 적당한 기술적 조건 하에, 군 $G$의 밀도가 있는 왼쪽 순서는 $LO(G)$ 내에서 고립점이 될 수 없다.
• 가장 밀도가 있는 순서들의 집합의 폐포는 $LO(G)$ 내에서 조밀한 $G_{\delta}$ 부분집합이며, 코너트 집합과 위상동형이다.
• $n > 2$인 브레인드 군 $B_n$에 대해, 디혼로 순서 $P_D$는 고립점이 아니며, 그 공액의 집적점이기 때문이다.
• 브레인드 군의 디혼로 순서는 이산적이며, 가장 작은 양의 원소는 $\sigma_{n-1}$이며, 부분어구 성질을 만족한다.
• 브레인드 군 $B_n$의 디혼로 순서 내 모든 볼록부분군은 이동된 브레인드 군 $sh^r(B_{n-r})$와 동형이며, $\langle \sigma_{n-1} \rangle$를 제외한 나머지는 모두 이중순서 가능하지 않다.
• 특히 $P_D$는 $\langle \sigma_{n-1} \rangle$를 진부분집합으로 포함하는 비자명한 이중순서 가능 볼록부분군을 가지지 않기 때문에, 정리 4.9에 의해 고립점이 아니며, 이는 고립점이 아님을 보여준다.