[논문 리뷰] Isometric deformations of wave fronts at non-degenerate singular points

Atsufumi Honda, Kosuke Naokawa외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 09.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 13인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 일관된 접선(bundle)을 통해 실해석적 Kossowski 계량을 특정한 특이성(구절 가장자리, 물개꼬리, 구절 교차점)을 가진 파동면으로 실현하기 위한 기준을 설정한다. 비타당하지 않은 반정부정성 점과 곡률선을 따라 주곡률 함수가 주어지면, 특수한 지오데식이 평면에 있을 경우 유일한 등거리 파동면의 국소 해가 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

Cuspidal edges and swallowtails are typical non-degenerate singular points on wave fronts in the Euclidean $3$-space. Their first fundamental forms belong to a class of positive semi-definite metrics called "Kossowski metrics". A point where a Kossowski metric is not positive definite is called a singular point or a semi-definite point of the metric. Kossowski proved that real analytic Kossowski metric germs at their non-parabolic singular points(the definition of "non-parabolic singular point" is stated in the introduction here) can be realized as wave front germs (Kossowski's realization theorem). On the other hand, in a previous work with K. Saji, the third and the fourth authors introduced the notion of "coherent tangent bundle". Moreover, the authors, with M. Hasegawa and K. Saji, proved that a Kossowski metric canonically induces an associated coherent tangent bundle. In this paper, we shall explain Kossowski's realization theorem from the viewpoint of coherent tangent bundles. Moreover, as refinements of it, we give a criterion that a given Kossowski metric can be realized as the induced metric of a germ of cuspidal edge (resp. swallowtail or cuspidal cross cap). Several applications of these criteria are given. Also, some remaining problems on isometric deformations of singularities of analytic maps are given at the end of this paper.

연구 동기 및 목표

• Kossowski의 실현 정리를 일관된 접선(bundle)을 사용하여 재구성하기.
• Kossowski 계량을 구절 가장자리, 물개꼬리, 또는 구절 교차점의 국소 해로 실현하기 위한 기준 제공하기.
• 특이집합 이미지와 제1 기본형을 유지하는 등거리 파동면 변형 연구하기.
• 특히 존재성과 형식해의 수렴성에 관해 열려 있는 문제를 다루기: 물개꼬리와 교차점에 대한 등거리 변형 문제.

제안 방법

• 일관된 접선(bundle) 이론을 활용해 파동면 구조와 Kossowski 계량을 자연스럽게 연관시키기.
• 비퇴화 특이점에서 특이 곡선을 매개변수화하기 위해 은직함수정리 적용하기.
• 부호가 있는 면적 밀도 함수 λ 및 그 기울기를 조건화하여 비퇴화성 보장하기.
• 제1 기본형과 곡률선 조건에서 유도된 PDE 시스템을 풀어 국소 등거리 임베딩 f: U → ℝ³ 구성하기.
• f_v(p) = 0가 되는 조정된 국소 좌표계를 사용해 특이점 분석을 단순화하기.
• 주곡률가 유한하고 실해석적으로 유지되도록 조건 e^ω(t) < m_p 적용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비포물형 반정부정성 점에서 주어진 실해석적 Kossowski 계량 국소 해가 구절 가장자리 국소 해의 제1 기본형으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 비포물형 A₃ 점에서 주어진 특이집합 이미지와 Kossowski 계량 국소 해를 가진 물개꼬리 파동면이 존재하는가?
• RQ3 물개꼬리 특이점에서 특수한 지오데식이 존재하는가? 그리고 그가 평면에 있을까?
• RQ4 실해석적 윌리엄슨 계량이 교차점 국소 해의 제1 기본형으로 실현될 수 있는가?
• RQ5 교차점에 대한 등거리 변형에 대한 형식적 멱급수 해가 실제 실해석적 해로 수렴하는가?

주요 결과

• 비포물형 반정부정성 점에서 실해석적 Kossowski 계량 국소 해는 유일한 등거리 파동면 국소 해로 실현 가능하며, 이는 구절 가장자리, 물개꼬리, 또는 구절 교차점로 실현된다.
• 특성 곡선 γ가 특수한 지오데식이라면, 그 이미지 f∘γ는 평면에 존재한다. 이는 매개변수화에서 μ(u) = 0로 나타난다.
• 곡률선을 따라 주곡률 함수 e^ω(t) < m_p가 주어지면, 유일한 파동면의 동치류가 존재한다.
• 특이집합 이미지를 제어하는 등거리 변형이 구절 가장자리 및 구절 교차점에 대해 존재함을 입증하였다.
• 물개꼬리 특이점에서 특수한 지오데식이 존재하는지 여부는 여전히 열려 있으며, 형식해는 임의의 차수까지 존재한다.
• 교차점 실현에 대한 형식적 멱급수 해는 존재하지만, 수렴성은 아직 증명되지 않았다.