[논문 리뷰] Isometric embeddings in trees and their use in the diameter problem

Guillaume Ducoffe|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 29.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 82인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $k$ 개의 트리 시스템에 쐐기-등거리 임bedding을 갖는 그래프 및 유한 거리 공간의 지름을 계산하는 거의 최적의 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘은 $\mathcal{O}(2^{\mathcal{O}(k\log k)}(N+n)^{1+o(1)})$ 시간에 작동하며, 여기서 $N$ 은 트리들의 총 크기이다. 또한 강한 곱의 $k$ 개의 트리에 대한 임베딩에 대해 더 빠른 $\mathcal{O}(N + kn)$-시간 알고리즘을 제공하며, 트리에서 효율적인 원심도 질의를 위한 새로운 데이터 구조를 도입한다.

ABSTRACT

We prove that given a discrete space with $n$ points which is either embedded in a system of $k$ trees, or the Cartesian product of $k$ trees, we can compute all eccentricities in ${\cal O}(2^{{\cal O}(k\log{k})}(N+n)^{1+o(1)})$ time, where $N$ is the cumulative total order over all these $k$ trees. This is near optimal under the Strong Exponential-Time Hypothesis, even in the very special case of an $n$-vertex graph embedded in a system of $ω(\log{n})$ spanning trees. However, given such an embedding in the strong product of $k$ trees, there is a much faster ${\cal O}(N + kn)$-time algorithm for this problem. All our positive results can be turned into approximation algorithms for the graphs and finite spaces with a quasi isometric embedding in trees, if such embedding is given as input, where the approximation factor (resp., the approximation constant) depends on the distortion of the embedding (resp., of its stretch). The existence of embeddings in the Cartesian product of finitely many trees has been thoroughly investigated for cube-free median graphs. We give the first-known quasi linear-time algorithm for computing the diameter within this graph class. It does not require an embedding in a product of trees to be given as part of the input. On our way, being given an $n$-node tree $T$, we propose a data structure with ${\cal O}(n\log{n})$ pre-processing time in order to compute in ${\cal O}(k\log^2{n})$ time the eccentricity of any subset of $k$ nodes. We combine the latter technical contribution, of independent interest, with a recent distance-labeling scheme that was designed for cube-free median graphs.

연구 동기 및 목표

• 트리 시스템에 쐐기-등거리 임베딩이 가능한 그래프 및 유한 거리 공간에서 지름을 빠르게 계산하는 알고리즘을 개발하기 위해.
• 트리의 노드 부분집합에 대한 원심도 질의를 효율적으로 수행할 수 있는 데이터 구조를 설계하기 위해. 이 경우 $\mathcal{O}(n\log n)$ 전처리 시간과 $\mathcal{O}(k\log^2 n)$ 질의 시간을 확보한다.
• 임베딩을 입력으로 요구하지 않는, 큐브-프리 중앙값 그래프에서 지름을 계산하는 최초의 준선형 시간 알고리즘을 제공하기 위해.
• 강력한 지수 시간 가설(SETH)에 기반한 날카로운 조건부 하한을 설정하여 제안된 알고리즘의 거의 최적성( near-optimality )을 입증하기 위해.
• 트리에 쐐기-등거리 임베딩이 가능한 일반 거리 공간으로의 결과 확장을 위해, 왜곡에 따라 변하는 근사 비율을 갖는 근사 알고리즘을 제공하기 위해.

제안 방법

• 유한 거리 공간의 등거리 및 쐐기-등거리 임베딩을 $k$ 개의 트리 시스템 또는 $k$ 개의 트리 곱에 적용하여 지름 계산 문제를 트리 기반 계산으로 환원한다.
• 노드마다 경로의 끝점 특성을 포괄하기 위해 네 가지 가능한 상태를 유지하는 트리에서의 동적 프로그래밍 접근법을 도입하여 원심도를 계산한다.
• 중심점의 별(star)에 의해 유도되는 게이트드 하위그래프(섬유)에 대해 재귀적 분할 정복 전략을 적용하며, 이는 섬유의 볼록성과 게이트드 성질을 활용한다.
• 중심값 그래프에서의 거리 레이블링 체계를 적용하여 하위그래프 내에서의 거리와 정점 가중치를 효율적으로 계산함으로써 전체 실행 시간을 감소시킨다.
• 위의 기법들을 중심점 분할 전략과 결합하여 각 재귀 수준에서 최대 절반의 정점만 처리되도록 하여 총 $\mathcal{O}(\log n)$ 단계를 확보한다.
• 노드에서 섬유까지의 게이트와 거리를 계산하기 위해 수정된 BFS를 활용하며, 정점 가중치를 외부에서 기여하는 최대 원심도 영향을 반영하도록 업데이트한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점 $k$ 개의 트리에 쐐기-등거리 임베딩이 가능한 그래프 또는 유한 거리 공간의 지름을 $\mathcal{O}(n^2)$ 시간 이하로 더 빠르게 계산할 수 있는가?
• RQ2 트리 시스템에 임베딩된 공간에서 모든 원심도를 계산하는 데 필요한 최적의 시간 복잡도는 무엇이며, 이는 $k$ 에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 임베딩을 입력으로 요구하지 않는 큐브-프리 중앙값 그래프에서 지름 계산을 위한 거의 최적의 알고리즘이 존재하는가?
• RQ4 강력한 지수 시간 가설(SETH)은 이러한 트리 유사 공간에서 지름 계산의 시간 복잡도를 어떻게 제약하는가?
• RQ5 트리에 쐐기-등거리 임베딩이 가능한 공간에 대해, 임베딩의 왜곡 또는 스트레치에 따라 변하는 근사 비율을 갖는 근사 알고리즘이 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 크기가 $n$ 인 유한 거리 공간이 $k$ 개의 트리 시스템에 쐐기-등거리 임베딩이 가능할 경우, 지름은 $\mathcal{O}(2^{\mathcal{O}(k\log k)}(N+n)^{1+o(1)})$ 시간에 계산될 수 있으며, 여기서 $N$ 은 트리들의 총 크기이다.
• 강한 곱의 $k$ 개의 트리에 대한 임베딩의 경우, 지름은 $\mathcal{O}(N + kn)$ 시간에 계산될 수 있으며, 이는 일반적인 경우보다 훨씬 빠르다.
• 논문은 큐브-프리 중앙값 그래프에서 지름을 계산하는 최초의 준선형 시간 알고리즘을 제시하며, 그래프의 차원과 차수에 대한 온건한 조건 하에서 $\mathcal{O}(n^{1+o(1)})$ 시간에 작동한다.
• 전처리 시간 $\mathcal{O}(n\log n)$ 을 갖는 데이터 구조가 제안되었으며, 이는 트리 내 임의의 $k$ 개 노드 부분집합의 원심도 질의를 $\mathcal{O}(k\log^2 n)$ 시간에 지원한다.
• 알고리즘의 시간 복잡도는 강력한 지수 시간 가설(SETH) 하에서 거의 최적임이 입증되었으며, 이는 $\omega(\log n)$ 개의 스패닝 트리에 대한 임베딩에 대해서도 성립한다.
• 트리에 쐐기-등거리 임베딩이 가능한 그래프에 대해, 임베딩의 왜곡에 따라 변하는 근사 비율을 갖는 근사 알고리즘을 제공하며, 근사 상수는 스트레치에 따라 달라진다.