[논문 리뷰] Isometric properties of relative bounded cohomology

Martin Juan José Bucher, M. Burger외 4명|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 04.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 각 연결 성분의 기본군이 아벨리안일 경우, 상대 유계 코homology $ H^n_b(X,Y) $ 에서 유계 코homology $ H^n_b(X) $ 로의 포함 유도 사상이 $ n \geq 2 $ 에서 등장하는 등급 등형사상임을 증명한다. 주요 기여는 Gromov의 등형정리에 대한 새로운 증명과, 일반화된 Dehn 채움 하에서 Fujiwara와 Manning의 심플렉틱 체적 결과의 일반화이며, 이는 상대 유계 코homology의 등형성질을 활용하여 이루어진다.

ABSTRACT

We show that the isomorphism induced by the inclusion of pairs $(X,\emptyset)\subset (X,Y)$ between the relative bounded cohomology of $(X,Y)$ and the bounded cohomology of $X$ is isometric in degree at least 2 if the fundamental group of each connected component of $Y$ is amenable. As an application we provide a self-contained proof of Gromov Equivalence theorem and a generalization of a result of Fujiwara and Manning on the simplicial volume of generalized Dehn fillings.

연구 동기 및 목표

• 아벨리안 기본군 조건 하에서 상대 유계 코homology와 절대 유계 코homology 사이의 등형 등형사상 수립.
• 상대 유계 코homology의 등형성질을 활용한 Gromov의 등형정리에 대한 자가 포함 증명 제공.
• 유계 코hom로의 등형성질을 활용하여 Fujiwara와 Manning의 일반화된 Dehn 채움 하에서 심플렉틱 체적 결과의 일반화.
• $ \ell^1 $-세미노름과 그 상대 호모로지에서의 극한 행동이 수행하는 역할 명확화.
• 각 성분 $ Y_i $ 에 대해 $ \pi_1(Y_i) $ 가 아벨리안일 경우, 포함 유도 사상 $ j^n: H^n_b(X,Y) \to H^n_b(X) $ 가 $ n \geq 2 $ 에서 등형임을 보임

제안 방법

• 상대 유계 코hom로의 장점 정렬 시퀀스를 사용하여 사상 $ j^n: H^n_b(X,Y) \to H^n_b(X) $ 를 분석하고, $ \pi_1(Y_i) $ 가 아벨리안일 경우에 등형임을 보임.
• 아벨리안 군에 대해 유계 코hom로가 $ n \geq 1 $ 에서 0이 되므로 $ H^n_b(Y) = 0 $ 임을 이용하여 $ n \geq 2 $ 에서 $ j^n $ 이 등형임을 유도.
• 상대 체인에서의 $ \ell^1 $-세미노름 분석과 $ \theta \to \infty $ 일 때의 극한 행동을 통해 등형사상 $ j^n $ 이 등형임을 증명.
• 유계 코hom로와 $ \ell^1 $-호모로지 사이의 번역 원리를 적용하여 등형성질을 코hom로에서 호모로지로 이전.
• 아벨리안 군의 균일 경계 조건 (Matsumoto-Morita) 를 활용하여 $ C_*(L) $ 의 경계에 대한 유계 리프트를 구성하고, $ \ell^1 $-노름에 대한 제어 확보.
• 일반화된 Dehn 채움 $ N = M(T_1,\dots,T_m) $ 의 기본 사이클을 $ (M,\partial M) $ 에서의 거의 기본 사이클과 $ L $ 에서의 제어된 리프트를 조합하여 구성하고, $ \|N\| \leq \|M,\partial M\| $ 를 증명함

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 포함 유도 사상 $ j^n: H^n_b(X,Y) \to H^n_b(X) $ 가 유계 코hom로에서 등형 등형사상이 되는가?
• RQ2 Gromov의 등형정리는 상대 유계 코hom로의 등형 등형사상에 의해 재증명될 수 있는가?
• RQ3 일반화된 Dehn 채움 $ M(T_1,\dots,T_m) $ 의 심플렉틱 체적 $ \|N\| \leq \|M,\partial M\| $ 이 성립하는가? 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ4 $ \theta \to \infty $ 일 때 $ \ell^1 $-세미노름 $ \|\cdot\|_1(\theta) $ 의 행동은 어떻게 되며, 표준 $ \ell^1 $-노름과의 관계는 무엇인가?
• RQ5 아벨리안 군에서의 균일 경계 조건이 상대 호모로지에서 $ \ell^1 $-노름 제어에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 각 연결 성분의 기본군이 아벨리안일 경우, 모든 $ n \geq 2 $ 에 대해 사상 $ j^n: H^n_b(X,Y) \to H^n_b(X) $ 는 등형 등형사상이다.
• 모든 상대 호모로지 클래스 $ \alpha $ 에 대해 $ \|\alpha\|_{(0)} \leq \|\alpha\|_{1}(\infty) $ 를 증명함으로써, $ \theta $-노름이 표준 $ \ell^1 $-노름으로 수렴함을 보였다.
• 일반화된 Dehn 채움 $ N = M(T_1,\dots,T_m) $ 의 심플렉틱 체적은 $ \|N\| \leq \|M,\partial M\| $ 를 만족하며, 극한에서 등호가 성립한다.
• 정리 4의 두 번째 증명은 등형정리를 직접적으로 사용하지 않고 정리 1의 등형성질에 기반하여, 보다 직접적인 호모로지적 추론을 제공한다.
• $ H_n(N) \to H_n(N,L) $ 의 역사상이 등형임을 보였고, 이는 $ (M,\partial M) $ 에서 $ N $ 으로의 사영에서 $ \ell^1 $-노름이 유지됨을 의미한다.
• 경계의 리프트에 대해 $ \|c'\|_1 \leq K \|p_n(d_n c)\|_1 $ 를 만족하는 상수 $ K > 0 $ 가 존재함을 통해, $ N $ 의 기본 사이클 구성에서 $ \ell^1 $-노름에 대한 제어가 가능하다.