[논문 리뷰] Isometric Rigidity of compact Wasserstein spaces

Jaime Santos-Rodríguez|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 17.

Geometric Analysis and Curvature Flows인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 $M$이 컴팩트한 랭크-일치 대칭 공간(CROSS)이거나 양의 섹션 군의 곡률을 가지는 경우, $p \in (1, \infty)$에 대해 $\mathcal{P}_p(M)$의 등거리변환은 기본 다양체 $M$의 등거리변환으로부터 유일하게 유도됨을 증명함으로써, 리만다양체 위의 컴팩트한 워셔스타인 공간에 대한 등거리 고정성(isometric rigidity)을 확립한다. 핵심 결과는 $\mathcal{P}_p(M)$의 등거리군이 $M$의 등거리군과 일치한다는 것이며, 이는 등거리변환이 도함수 델타를 보존하고, 비분기성 및 양의 곡률을 가진 공간에서 최적 운반의 구조적 성질을 이용함으로써 도출된다.

ABSTRACT

Let $(X,d,\mathfrak{m})$ be a metric measure space. The study of the Wasserstein space $(\mathbb{P}_p(X),\mathbb{W}_p)$ associated to $X$ has proved useful in describing several geometrical properties of $X.$ In this paper we focus on the study of isometries of $\mathbb{P}_p(X)$ for $p \in (1,\infty)$ under the assumption that there is some characterization of optimal maps between measures, the so called Good transport behaviour $GTB_p$. Our first result states that the set of Dirac deltas is invariant under isometries of the Wasserstein space. Additionally we obtain that the isometry groups of the base Riemannian manifold $M$ coincides with the one of the Wasserstein space $\mathbb{P}_p(M)$ under assumptions on the manifold; namely, for $p=2$ that the sectional curvature is strictly positive and for general $p\in (1,\infty)$ that $M$ is a Compact Rank One Symmetric Space.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 거리측도공간 $M$ 위의 $L^p$-워셔스타인 공간 $\mathcal{P}_p(M)$의 등거리변환이 기본 공간 $M$의 등거리변환으로부터 유일하게 유도되는지 규명하는 것.
• 곡률 및 구조적 조건 하에서 $\mathrm{Iso}(M) = \mathrm{Iso}(\mathcal{P}_p(M))$의 의미에서 등거리 고정성을 확립하는 것.
• 등거리변환에 대해 도함수 델타 측도가 불변함을 조사함으로써 고정성에 대한 기초 단계를 마련하는 것.
• 유클리드 공간 및 하다르트 공간에서 알려진 고정성 결과를 컴팩트하고 양의 곡률을 가진 리만다양체로 확장하는 것.
• 비분기성 공간에서 양호한 운반 행동(GTBp)을 갖는 공간에서 최적 운반 기하학과 사이클릭 단조성(cyclical monotonicity)을 이용해 $\mathcal{P}_p(M)$ 내 등거리변환의 구조를 특성화하는 것.

제안 방법

• 컴팩트 거리측도공간 $(X,d,m)$가 $p \in (1, \infty)$에 대해 양호한 운반 행동(GTBp)을 만족할 때, $\mathcal{P}_p(X)$의 임의의 등거리변환 $\Phi$가 도함수 델타 집합 $\Delta_1$를 보존함을 증명한다.
• 최적 운반 계획의 $p$-사이클릭 단조성과 컴팩트 공간에서의 거리 최대성 조건을 이용하여 측도의 이미지의 지지집합을 제약한다.
• 다양체 $M$의 차원에 대해 귀납법을 적용하며, CROSS 내의 점들의 컷로지가 낮은 차원의 CROSS 또는 점임을 이용한다.
• 주어진 측도 $\mu$가 $\mathcal{P}_p(M)$ 내에서 구형과 컷로지 위에 지지된 보조 측도 $\nu_0$, $\nu_1$를 구성하여, $\mu$가 이들 사이의 지오데식 내부에 위치함을 보장한다.
• 등거리변환이 지오데식과 그 내부 점을 보존함을 이용하여, 다수의 구형 위에 지지된 측도의 이미지가 동일한 구형 위에 지지됨을 보여준다.
• 결론적으로, $\Phi$가 $\mathcal{P}_p(M)$의 조밀한 부분집합(예: 유한지지 측도) 위에서 항등적임을 보이고, 따라서 $\Phi$는 $\mathcal{P}_p(M)$ 위에서 항등사상임을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 워셔스타인 공간 $\mathcal{P}_p(M)$의 모든 등거리변환이 기본 다양체 $M$의 등거리변환으로부터 유도되는가?
• RQ2 컴팩트 거리측도공간이 GTBp를 만족할 때, $\mathcal{P}_p(M)$의 등거리변환에 대해 도함수 델타 집합이 불변인가?
• RQ3 $M$이 컴팩트한 랭크-일치 대칭 공간(CROSS)이거나 양의 섹션 군 곡률을 갖는 닫힌 리만다양체일 경우, $\mathcal{P}_p(M)$에 대해 등거리 고정성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 최적 운반의 구조적 성질—예를 들어 사이클릭 단조성 및 지지집합 행동—은 $\mathcal{P}_p(M)$ 위의 등거리변환의 행동을 어떻게 제약하는가?
• RQ5 비분기성 컴팩트 공간에서 컷로지의 역할은 $\mathcal{P}_p(M)$의 등거리변환을 특성화하는 데 어떤 기여를 하는가?

주요 결과

• 컴팩트 거리측도공간 $(X,d,m)$가 $p \in (1, \infty)$에 대해 양호한 운반 행동(GTBp)을 만족할 때, $\mathcal{P}_p(X)$의 임의의 등거리변환 $\Phi$는 도함수 델타 집합 $\Delta_1$를 보존한다.
• 양의 섹션 군 곡률을 갖는 닫힌 리만다양체 $M$에 대해, $\mathcal{P}_2(M)$의 등거리군은 $\mathrm{Iso}(M)$과 일치하며, 이는 $p=2$에 대해 등거리 고정성을 확립한다.
• 모든 $p \in (1, \infty)$에 대해, $M$이 컴팩트한 랭크-일치 대칭 공간(CROSS)이라면 $\mathrm{Iso}(M) = \mathrm{Iso}(\mathcal{P}_p(M))$이며, 이는 이 클래스에 대해 등거리 고정성을 완전히 일반화하여 증명한다.
• $\mathcal{P}_p(M)$의 등거리변환은 측도의 지지집합 구조를 보존한다: 한 점을 중심으로 한 유한 개의 구형 위에 지지된 측도의 이미지는 동일한 구형 위에 지지된다.
• 등거리변환 $\Phi$는 모든 유한지지 확률측도 위에서 항등적으로 작용하며, 이러한 측도들이 $\mathcal{P}_p(M)$에서 조밀하므로 $\Phi$는 $\mathcal{P}_p(M)$ 위에서 항등사상이어야 한다.
• 증명은 주어진 측도 $\mu$를 포함하고, 끝점이 간단한 집합들(예: 점 질량 및 컷로지) 위에 지지된 지오데식을 구성하는 데 기반하며, 이로써 $\Phi(\mu)$에 대한 귀납적 제어가 가능해진다.