[논문 리뷰] Isomorphism of regular trees and words

Markus Lohrey, Christian Mathissen|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 14.

semigroups and automata theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 오ート마타로 표현된 정규 트리와 정규 선형 순서(일반화된 단어)의 동형 문제의 계산 복잡도를 규명한다. 비결정성 유한 오차마타(NFA)로 표현된 정규 트리의 동형 문제는 EXPTIME-완비임을 증명하며, 유한 트리를 압축적으로 표현하는 비순환 NFA의 경우 PSPACE-완비임을 보인다. 정규 선형 순서를 DFA로 표현한 경우, 다항 시간 알고리즘이 제안되어 Ésik과 Bloom이 제기한 미해결 문제를 해결한다.

ABSTRACT

The computational complexity of the isomorphism problem for regular trees, regular linear orders, and regular words is analyzed. A tree is regular if it is isomorphic to the prefix order on a regular language. In case regular languages are represented by NFAs (DFAs), the isomorphism problem for regular trees turns out to be EXPTIME-complete (resp. P-complete). In case the input automata are acyclic NFAs (acyclic DFAs), the corresponding trees are (succinctly represented) finite trees, and the isomorphism problem turns out to be PSPACE-complete (resp. P-complete). A linear order is regular if it is isomorphic to the lexicographic order on a regular language. A polynomial time algorithm for the isomorphism problem for regular linear orders (and even regular words, which generalize the latter) given by DFAs is presented. This solves an open problem by Esik and Bloom.

연구 동기 및 목표

• 정규 트리와 정규 선형 순서의 동형 문제의 계산 복잡도를 규명하는 것.
• Ésik과 Bloom이 제기한 정규 선형 순서의 동형 문제에 관한 미해결 문제를 해결하는 것.
• 다양한 오차마타 표현 방식(DFA, NFA, 비순환 오차마타)이 동형 테스트의 복잡도에 미치는 영향을 분석하는 것.
• DFA로 표현된 정규 선형 순서의 동형 문제에 대해 다항 시간 알고리즘을 제시하는 것.
• 다양한 오차마타 입력 유형에 대해 날카로운 복잡도 경계(예: EXPTIME-완비, PSPACE-완비)를 확립하는 것.

제안 방법

• NFAs 또는 DFAs를 사용하여 정규 언어의 접두사 순서를 통해 정규 트리를 표현한다.
• 정규 트리의 동형 문제를 오차마타 이론적 구성으로 환원하고, 교호적 튜링 기계 시뮬레이션을 통해 EXPTIME-난이도를 증명한다.
• Lindell의 결과(명시적으로 주어진 유한 트리에 대한 로그스페이스 동형 테스트)를 활용하여 비순환 NFA의 경우 PSPACE 상한을 도출한다.
• 순서가 있는 트리에서 전이 구조와 부분트리 동형 문제를 비교하는 재귀적 동형 검사 기반 방법을 사용한다.
• 순서가 있는 정규 트리의 가장자리 단어(frontier words)를 통해 정규 단어의 새로운 특성화를 적용하여 트리 동형 문제와 단어 동형 문제를 연결한다.
• 보완 닫힘과 비결정적 로그스페이스 순회를 활용한 재귀적 상태 쌍 기반 알고리즘을 사용하여 접두사 닫힘 DFA에 대해 NL에서 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 NFAs로 표현된 정규 트리의 동형 문제의 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 입력 오차마타가 비순환 NFA(유한 트리를 압축적으로 표현)인 경우 복잡도는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 DFA로 표현된 정규 선형 순서의 동형 문제에 대해 다항 시간 알고리즘이 존재하는가?
• RQ4 NFAs로 표현된 정규 선형 순서의 동형 문제의 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 정규 단어의 동형 문제는 가장자리 단어 구성 방식을 통해 트리 동형 문제로 환원될 수 있는가?

주요 결과

• NFAs로 표현된 정규 트리의 동형 문제는 EXPTIME-완비이다.
• 비순환 NFA의 경우, 해당 유한 트리의 동형 문제는 PSPACE-완비이다.
• DFAs로 표현된 정규 트리의 동형 문제는 P-완비이다.
• DFA로 표현된 정규 선형 순서의 동형 문제에 대해 다항 시간 알고리즘을 제시하였으며, 이는 오랜 동안 미해결이었던 문제를 해결한다.
• NFAs로 표현된 정규 선형 순서의 동형 문제는 EXPTIME에 속하고 PSPACE-난이도를 지닌다. 이는 PSPACE와 EXPTIME 사이에 복잡도 갭이 존재함을 시사한다.
• 접두사 닫힘 DFA의 경우 동형 문제는 NL-완비이며, 접두사 닫힘 NFA의 경우 PSPACE-완비이다.