[논문 리뷰] Isomorphism problems for tensors, groups, and cubic forms: completeness and reductions

Joshua A. Grochow, Youming Qiao|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 30.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 73인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 텐서, p-군, 삼차형식, 대수 간의 동형 문제들 사이에 광범위한 등가성을 확립하며, 이들이 모두 상호 간에 다항식 시간 내로 감소 가능하다는 것을 보여주며, 새로운 복잡도 클래스인 TI-완비를 형성한다. 또한 d ≥ 3 인 d-텐서 동형 문제는 3-텐서 동형 문제로 감소됨을 증명하고, 지수 p와 계수 2인 p-군에 대해 새로운 검색-결정 감소를 제공하며, 그래프 색칠 기법의 선형대수학적 유사체를 활용한다.

ABSTRACT

In this paper we consider the problems of testing isomorphism of tensors, $p$-groups, cubic forms, algebras, and more, which arise from a variety of areas, including machine learning, group theory, and cryptography. These problems can all be cast as orbit problems on multi-way arrays under different group actions. Our first two main results are: 1. All the aforementioned isomorphism problems are equivalent under polynomial-time reductions, in conjunction with the recent results of Futorny-Grochow-Sergeichuk (Lin. Alg. Appl., 2019). 2. Isomorphism of $d$-tensors reduces to isomorphism of 3-tensors, for any $d \geq 3$. Our results suggest that these isomorphism problems form a rich and robust equivalence class, which we call Tensor Isomorphism-complete, or TI-complete. We then leverage the techniques used in the above results to prove two first-of-their-kind results for Group Isomorphism (GpI): 3. We give a reduction from GpI for $p$-groups of exponent $p$ and small class ($c < p$) to GpI for $p$-groups of exponent $p$ and class 2. The latter are widely believed to be the hardest cases of GpI, but as far as we know, this is the first reduction from any more general class of groups to this class. 4. We give a search-to-decision reduction for isomorphism of $p$-groups of exponent $p$ and class 2 in time $|G|^{O(\log \log |G|)}$. While search-to-decision reductions for Graph Isomorphism (GI) have been known for more than 40 years, as far as we know this is the first non-trivial search-to-decision reduction in the context of GpI. Our main technique for (1), (3), and (4) is a linear-algebraic analogue of the classical graph coloring gadget, which was used to obtain the search-to-decision reduction for GI. This gadget construction may be of independent interest and utility. The technique for (2) gives a method for encoding an arbitrary tensor into an algebra.

연구 동기 및 목표

• 알제브라, 군론, 텐서 이론 분야의 다양한 동형 문제들을 공통된 복잡도 프레임워크 아래 통합하기.
• 임의의 체 위에서 d-텐서, p-군, 삼차형식, 대수의 동형 문제들 사이에 다항식 시간 감소를 수립하기.
• d ≥ 3 인 d-텐서 동형 문제는 3-텐서 동형 문제로 감소됨을 증명하기.
• 지수 p와 계수 2인 p-군의 동형 문제에 대해 새로운 검색-결정 감소를 개발하기.
• 동형 문제 감소를 위한 그래프 색칠 기법의 선형대수학적 유사체를 도입하기.

제안 방법

• 저자들은 다중 방향 배열(텐서)에 대한 군 작용을 사용하여, 대수, 삼차형식, 군과 같은 대수적 구조의 동형 문제를 모델링한다.
• 고전적인 그래프 색칠 기법을 영감으로 삼은 선형대수학적 기법을 구축하여, 텐서 및 군 동형 문제의 맥락에서 동형 문제 간 감소를 가능하게 한다.
• d-텐서 동형 문제에서 3-텐서 동형 문제로의 감소는 고차원 텐서를 대수적 구성법을 통해 3-텐서로 인코딩함으로써 이sov라즘 불변량을 유지하는 방식으로 이루어진다.
• 지수 p와 계수 < p인 p-군의 경우, 군의 구조와 동형 유형을 유지하는 새로운 변환을 통해 동형 테스트를 계수 2의 경우로 감소시킨다.
• 새로운 기법을 사용하여 지수 p와 계수 2인 p-군의 동형 문제에 대해 검색-결정 감소를 |G|O(log log |G|) 시간 내에 달성하며, 검색을 결정 쿼리로 시뮬레이션한다.
• 증명 기법은 GL(n, F) 내의 안정자 계산과 특히 삼차형식에 대한 동차 다항식의 인수분해 패턴 분석에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서, p-군, 삼차형식, 대수의 동형 문제들이 모두 다항식 시간으로 등가인가?
• RQ2 d ≥ 3 인 d-텐서 동형 문제는 3-텐서 동형 문제로 감소 가능한가?
• RQ3 지수 p와 계수 2인 p-군의 동형 문제에 대해 검색-결정 감소가 가능한가?
• RQ4 지수 p와 계수 < p인 p-군의 동형 문제는 계수 2의 경우로 감소 가능한가?
• RQ5 그래프 색칠 기법의 선형대수학적 유사체를 사용하여 다양한 동형 문제 감소를 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 텐서, p-군, 삼차형식, 대수 및 관련 구조의 동형 문제들은 모두 다항식 시간으로 등가이며, 새로운 복잡도 클래스인 TI-완비를 형성한다.
• 임의의 체 위에서 d ≥ 3 인 d-텐서 동형 문제는 3-텐서 동형 문제로 감소된다.
• 지수 p와 계수 < p인 p-군의 동형 문제는 지수 p와 계수 2인 p-군의 동형 문제로 감소되며, 이는 이전까지 알려지지 않았고 가장 어려운 케이스로 여겨졌던 결과이다.
• 지수 p와 계수 2인 p-군의 동형 문제에 대해 |G|O(log log |G|) 시간 내에 검색-결정 감소를 달성하였으며, 이는 이 맥락에서 처음으로 비트리비얼한 감소이다.
• 감소 기법은 고전적인 그래프 색칠 기법의 선형대수학적 유사체를 일반화한 선형대수학적 기법 구축에 기반하며, 대수적 동형 문제 감소에 새로운 가능성을 열어준다.
• 동형 문제의 등가는 안정자 분석과 특히 임의의 체 위에서의 삼차형식에 대한 동차 다항식의 인수분해 성질을 통해 확립된다.