[논문 리뷰] Isomorphisms of jet schemes

Shihoko Ishii, J. Winkelmann|ArXiv.org|2009. 08. 08.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 잔차 스킴의 동형사상이 그 기저 스킴의 동형사상을 유도하는지 조사한다. 만약 기저 스킴의 사상으로부터 유도된 $m$-잔차 스킴의 동형사상이 존재한다면, 그 기저 사상은 동형사상임을 증명한다. 그러나 다니엘레우스키 표면을 사용하여 반례를 구성함으로써, 잔차 스킴의 동형사상만으로는 기저 스킴의 동형사상이 보장되지 않음을 보여주며, 이는 모든 $m \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ 에 대해서도 마찬가지이다.

ABSTRACT

If two schemes are isomorphic, then their $m$-jet schemes are isomorphic for all $m$. In this paper we consider the converse problem. We prove that if an isomorphism of the $m$-jet schemes is induced from a morphism of the base schemes, then the morphism of the base schemes is an isomorphism. But we also prove that just the existence of isomorphisms between $m$-jet schemes does not yield the existence of an isomorphism between the base schemes.

연구 동기 및 목표

• 모든 $m \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ 에 대해 $m$-잔차 스킴의 동형사상이 기저 스킴의 동형사상인지를 조사하는 것.
• 잔차 스킴의 동형사상들을 유도하는 사상의 존재가 그 사상이 동형사상임을 의미하는지 판단하는 것.
• 모든 $m$ 에 대해 $X_m \simeq Y_m$ 이지만 $X \not\simeq Y$ 인 반례를 구성하여, 그 역이 성립하지 않음을 보여주는 것.

제안 방법

• 잔차 스킴를 그 기저 $\mathcal{O}_X$-대수로서의 순서 구조를 사용하여 분석하며, 특히 자르기 사상 $\psi_{m,m'}: X_m \to X_{m'}$ 를 통한 필터링을 고려한다.
• 범주적 몫 성질을 적용: $t \mapsto st$ 에 의해 유도되는 $G = \mathbb{G}_m$-작용에 대한 사영 $\pi_m: X_m \to X$ 는 범주적 몫이다.
• 기본적 단면 $\sigma_{m-1}: X \to X_{m-1}$ 의 상의 정의 아이디얼 $\mathcal{J}^{(m)}$ 를 분석하여, $\bigoplus_{i=1}^{m-1} \mathcal{R}^{(m-1)}_i$ 에 의해 생성됨을 보인다.
• 정확한 수열 $0 \to \mathcal{J}_m^{(m)} \to \mathcal{R}_m^{(m)} \to \Omega_{X/k} \to 0$ 을 사용하여 잔차 스킴과 코탄젠트 층을 연결한다.
• 다니엘레우스키 표면 $X: xz - y^2 + 1 = 0$ 과 $Y: x^2z - y^2 + 1 = 0$ 을 사용하여 반례를 구성한다. 이들은 서로 동형이 아니지만 잔차 스킴은 동형이다.
• 기본적으로 $X \times \mathbb{A}^1 \simeq Y \times \mathbb{A}^1$ 이며, 캐논리컬 번들의 자명성으로부터 $X_m \simeq X \times \mathbb{A}^{2m}$, $Y_m \simeq Y \times \mathbb{A}^{2m}$ 를 유도할 수 있으며, $m = \infty$ 에서는 프로젝티브 극한을 취한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 스킴 $X$ 와 $Y$ 의 $m$-잔차 스킴 $X_m$ 과 $Y_m$ 사이에 동형사상이 존재하면, 그 기저 스킴 $X$ 와 $Y$ 도 동형이어야 하는가?
• RQ2 기저 스킴의 사상 $f: X \to Y$ 가 $m$-잔차 스킴의 동형사상 $f_m: X_m \to Y_m$ 을 유도한다면, 그 사상 $f$ 는 반드시 동형사상이어야 하는가?
• RQ3 서로 동형이 아닌 두 스킴가 모든 $m \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ 에 대해 동형인 $m$-잔차 스킴을 가질 수 있는가?

주요 결과

• 기저 스킴의 사상 $f: X \to Y$ 가 어떤 $m$ 에 대해 $f_m: X_m \to Y_m$ 의 동형사상으로 이어진다면, $f$ 는 스킴의 동형사상이다.
• 기저 스킴 $X$ 의 잔차 스킴 $X_m$ 은 $\Omega_{X/k} \simeq \mathcal{O}_X^{\oplus 2}$ 를 만족할 경우 항상 $X \times \mathbb{A}_k^{2m}$ 와 동형이다. 이는 다니엘레우스키 표면에서 성립한다.
• 다니엘레우스키 표면 $X$ 와 $Y$ 는 각각 $xz - y^2 + 1 = 0$ 과 $x^2z - y^2 + 1 = 0$ 으로 정의되며, 모든 $m \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ 에 대해 $X_m \simeq Y_m$ 이지만 $X \not\simeq Y$ 이다.
• $\infty$-잔차 스킴 $X_\infty$ 는 $X_m \simeq Y_m$ 이며, 이들 간의 호환성 있는 동형사상들의 프로젝티브 극한으로서 $Y_\infty$ 와 동형이다.
• 잔차 스킴 $X_m$ 과 $Y_m$ 은 각각 $X \times \mathbb{A}_k^{2m}$ 과 $Y \times \mathbb{A}_k^{2m}$ 와 동형이다. 이는 캐논리컬 번들의 자명성과 코탄젠트 층의 구조 덕분이다.
• 반례는 잔차 스킴가 일반적으로 기저 스킴의 동형류를 감지하지 못함을 보여주며, 모든 잔차 스킴이 동형이어도 마찬가지로 성립하지 않음을 시사한다.