[논문 리뷰] Itô's formula for jump processes in $L_p$-spaces

István Gyöngy, Sizhou Wu|Edinburgh Research Explorer|2019. 04. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 점프를 포함한 확률과정의 $L_p$-노름에 대한 이토 공식을 수립하여, $p \geq 2$인 $L_p$-공간으로 키크로프의 $L_2$-이론을 확장한다. 이는 유클리드 공간에서의 이토 공식과 스토크래틱 푸비니 정리를 활용하여, 위너 과정과 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 $|u_t|_{L_p}^p$에 대한 확률미분을 제공하며, 레비 노이즈를 가진 SPDE의 존재성 및 유일성 증명을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We present an Itô formula for the $L_p$-norm of jump processes having stochastic differentials in $L_p$-spaces. The main results extend well-known theorems of Krylov to the case of processes with jumps, and which can be used to prove existence and uniqueness theorems in $L_p$-spaces for SPDEs driven by Lévy processes.

연구 동기 및 목표

• $p \geq 2$인 $L_p$-공간으로 키크로프의 $L_2$-공간에서의 이토 공식을 점프를 포함한 과정으로 확장한다.
• 위너 과정과 포아송 마틴게일 측도에 의해 구동되는 $L_p$-값을 가진 세미마르팅게일에 대한 확률계산 프레임워크를 개발한다.
• 레비 노이즈를 가진 SPDE의 해의 존재성 및 유일성을 증명하기 위한 도구를 제공한다.
• 키크로프(2010)의 보조정리 5.1 및 정리 2.1을 점프를 포함한 과정으로 일반화한다.
• 새로운 이토 공식을 통해 레비 노이즈를 가진 확률적 적분미분방정식의 $L_p$-노름에 대한 사전 추정치를 수립한다.

제안 방법

• $\mathbb{R}^M$-값을 가진 세미마르팅게일에 대한 이토 공식과 스토크래틱 푸비니 정리를 활용하여 $|u_t|_{L_p}^p$에 대한 확률미분을 유도한다.
• 모리피어를 통한 정규화 절차를 적용하여 부드럽지 않은 과정을 다루고 사전 추정치를 도출한다.
• $L_p$-노름에서 마르팅게일 항과 점프 항을 제어하기 위해 허더 및 얀 불등식을 사용한다.
• 편미분, 확산 및 점프 성분을 별도로 추정하여 해의 $L_p$-노름에 대한 경계를 확립한다.
• 시간, 공간 및 포아송 랜덤 측도에 대한 적분의 순서를 바꾸기 위해 스토크래틱 푸비니 정리를 적용한다.
• 모리피케이션 매개수 $\varepsilon \to 0$에서의 극한을 적용하여 정규화된 방정식에서의 극한으로 넘어간다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적인 세미마르팅게일에서의 이토 공식을 $L_p$-값을 가진 점프를 포함한 과정으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 과정이 포아송 랜덤 측도에 의해 유도되는 점프를 포함할 경우, $|u_t|_{L_p}^p$에 대한 적절한 이토 미분은 어떤 형태인가?
• RQ3 유도된 공식을 통해 레비 노이즈를 가진 SPDE의 $L_p$-노름에 대한 사전 추정치를 유도할 수 있는가?
• RQ4 $L_p$-노름 추정치는 편미분, 확산 및 점프 계수의 적분 가능성에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 점프 노이즈를 가진 $L_p$-소볼레프 공간에서 SPDE의 해의 존재성 및 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 점프를 포함한 $L_p$-값을 가진 세미마르팅게일에 대해 $|u_t|_{L_p}^p$에 대한 새로운 이토 공식을 수립하여, 키크로프의 $L_2$-결과를 일반화한다.
• $|u_t|_{L_p}^p$의 확률미분은 편미분, 확산 및 점프 항을 포함하며, 계수의 $L_p$-노름을 포함한 명시적 표현을 갖는다.
• 사전 추정치 (2.6)가 도출된다: $\mathbb{E} \sup_{t \leq T} |u_t|_{L_p}^p \leq C \left( \mathbb{E} |\psi|_{L_p}^p + \mathbb{E} \int_0^T |h_t|_{L_p(\mathcal{L}_p)}^p dt + \cdots \right)$, 상수 $N = N(p,d)$.
• 추정치는 편미분, 확산 및 점프 계수의 $L_p$-노름에 의존하며, 시간에 따라 변하는 요소인 $T^{(p-2)/2}$ 및 $T^{p-1}$를 포함한다.
• $\varepsilon \to 0$에서의 극한 절차를 통해 정규화된 방정식에서의 극한을 확인함으로써, $L_p$-값을 가진 연속적인 해가 $L_p$-의미에서 SPDE를 만족함을 입증한다.
• 이 방법은 레비 과정에 의해 구동되는 $L_p$-소볼레프 공간 내 SPDE의 존재성 및 유일성 결과를 가능하게 하며, [8]에서 적용되었다.