[논문 리뷰] It's Not Easy Being Three: The Approximability of Three-Dimensional Stable Matching Problems

Rafail Ostrovsky, Will Rosenbaum|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 02.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 삼차원 안정 매칭 문제의 근사 가능성에 대해 연구하며, 특히 3-GSM(3성별 안정 결혼)과 3-PSA(3인 안정 배정) 문제를 다루어, 최대 안정 결혼(MSM) 및 최대 안정 하위결혼(MSS) 변형이 상수 요인 이내로 근사하는 것이 NP-난해함을 증명한다. 또한 두 문제에 대해 다항식 시간 알고리즘을 제시하여 각각 4/9-근사율을 달성함으로써 APX-완전성을 입증한다.

ABSTRACT

In 1976, Knuth asked if the stable marriage problem (SMP) can be generalized to marriages consisting of 3 genders. In 1988, Alkan showed that the natural generalization of SMP to 3 genders ($3$GSM) need not admit a stable marriage. Three years later, Ng and Hirschberg proved that it is NP-complete to determine if given preferences admit a stable marriage. They further prove an analogous result for the $3$ person stable assignment ($3$PSA) problem. In light of Ng and Hirschberg's NP-hardness result for $3$GSM and $3$PSA, we initiate the study of approximate versions of these problems. In particular, we describe two optimization variants of $3$GSM and $3$PSA: maximally stable marriage/matching (MSM) and maximum stable submarriage/submatching (MSS). We show that both variants are NP-hard to approximate within some fixed constant factor. Conversely, we describe a simple polynomial time algorithm which computes constant factor approximations for the maximally stable marriage and matching problems. Thus both variants of MSM are APX-complete.

연구 동기 및 목표

• Ng와 Hirschberg가 보여준 바와 같이 정확하게 해결하는 데 있어 3차원 안정 매칭 문제의 계산적 비가역성에 대응하기 위해.
• 3성별 안정 결혼(3-GSM)과 3인 안정 배정(3-PSA)의 최적화 변형, 특히 최대 안정 결혼(MSM)과 최대 안정 하위결혼(MSS)을 체계적으로 정의하고 연구하기 위해.
• 이러한 문제들의 근사 가능성 한계를 규명하고, 특히 상수 요인 근사가 가능한지 여부를 규명하기 위해.
• 3차원 안정 매칭 문제의 NP-난해성과 근사 알고리즘 사이의 격차를 메우기 위해, 이전의 부분적 선호 및 동등성 제약 연구를 확장하기 위해.

제안 방법

• 3-GMSM 및 3-GMSS의 상수 요인 이내 근사가 NP-난해함을 증명하기 위해 3차원 매칭(3DM) 문제로의 축소를 수행한다.
• 기여하는 불안정 삼중항 수를 최소화하는 방식으로 삼중항을 선택하는 그리디 근사 알고리즘(AMSM)을 설계한다.
• 공집합 원리에 기반한 마킹 증명을 사용하여 각 삼중항 집합에서 적어도 하나의 삼중항이 안정 조건을 만족함을 보이고, 안정 삼중항 수의 하한을 도출한다.
• 일관되지 않은 순위를 가진 선호 구조를 구성하여, 제약된 선호 유형 조건 하에서도 근사 가능성의 난이도를 입증한다.
• 감소하는 이차항의 합계를 이용해 그리디 해의 총 불안정 삼중항 수를 바ounds하여 4/9-근사율을 증명한다.
• 유사한 축소 및 알고리즘 설계를 통해 3-PSA 문제로의 경계 확장을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3성별 안정 결혼에서 최대 안정 하위결혼(MSS) 문제에 대해 상수 요인 근사값을 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 최대 안정 결혼에 대한 4/9-근사율을 향상시킬 수 있는가, 아니면 이것이 최적인가?
• RQ3 3-GSM 및 3-PSA 문제에 대해 선호의 일관성 제약 조건 하에서도 근사 가능성 난이도 결과가 강건한가?
• RQ4 모든 선호 프로파일에서 최대 안정 하위결혼의 최소 크기는 얼마인가?
• RQ5 4/9-근사 알고리즘이 최적인가, 아니면 더 나은 근사 비율을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 3성별 최대 안정 결혼(3-G-MSM) 문제는 1보다 작은 어떤 상수 요인 이내로 근사하는 것이 NP-난해하며, 강력한 근사 불가능성 한계를 입증한다.
• 다항식 시간 그리디 알고리즘(AMSM)이 3-G-MSM 문제에 대해 4/9-근사율을 달성함으로써 문제의 APX에 속해 있음을 증명한다.
• 3-G-MSM 문제는 APX-완전하며, 이는 상수 요인 근사가 가능한 문제들 중 가장 어려운 문제들 중 하나임을 의미한다.
• 동일한 4/9-근사 결과는 3인 안정 배정(3-PSA) 문제로도 확장되며, 이에 해당하는 알고리즘 ASA가 존재한다.
• 최대 안정 하위결혼(3-G-MSS) 문제 역시 상수 요인 이내로 근사하는 것이 NP-난해하지만, 그러한 근사 알고리즘은 제시되지 않았다.
• 난이도 결과는 Max-3DM로의 축소에 기반하며, 이는 Max-SNP 완전임이 알려져 있어, 상수 요인 근사 불가능성이 표준 복잡도 가정 하에 본질적임을 의미한다.