[논문 리뷰] Iterated function systems with the average shadowing property

Mehdi Fatehi Nia|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 25.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 반복 함수 시스템(IFS)에서 평균 그림자 성질을 조사하며, 균일하게 수축하는 IFS와 그 공액성 또는 곱셈 구조를 가진 IFS가 이 성질을 만족함을 증명한다. 주요 기여는 연속 전성 IFS가 컴팩트 메트릭 공간 위에서 평균 그림자 성질을 갖는다면 모든 점이 체인 재진행 가능하다는 것을 보여주는 것이다—다만 그 역은 성립하지 않으며, 원주 위의 IFS는 모든 점이 체인 재진행 가능하나 평균 그림자 성질을 갖지 못함을 통해 반례가 제시된다.

ABSTRACT

The average shadowing property is considered for set-valued dynamical systems, generated by parameterized IFS, which are uniformly contracting, or conjugacy, or products of such ones. We also prove that if a continuous surjective IFS F on a compact metric space X has the aver- age shadowing property, then every point x is chain recurrent. Moreover, we introduce some examples and investigate the relationship between the original shadowing property and shadowing property for IFS. For example, this is proved that the Sierpinski IFS has the average shadowing property. Then we shows that there is an IFS F on S1 such that F does not sat- isfy the average shadowing property but every point x in S1 is a chain recurrent.

연구 동기 및 목표

• 단일 사상에서의 평균 그림자 성질 개념을 매개변수화된 반복 함수 시스템(IFS)으로 확장하는 것.
• 특히 균일하게 수축하는, 공액성 또는 곱셈 구조를 가진 IFS가 평균 그림자 성질을 만족하는 조건을 설정하는 것.
• IFS에서 평균 그림자 성질과 체인 재진행 가능성 간의 관계를 명확히 하는 것—특히 후자가 전자를 이끌어내는지 여부를 밝히는 것.

제안 방법

• 오빗에 대한 거리의 케사로 타입 평균을 사용하여 IFS에 대한 평균 가짜 궤도와 평균 그림자 성질을 정의한다.
• 가운데 맵의 집합이 거리 수축을 균일하게 하는 균일하게 수축하는 IFS의 개념을 사용하여 평균 그림자 성질을 증명한다.
• 시그마 공간과 궤도 구조를 포함한 기호 동역학 및 위상 동역학의 결과를 적용한다.
• 이론적 결과를 설명하기 위해 R, R², Σ₂, S¹ 위의 IFS에 대한 구체적 예를 제시한다.
• 공액성과 곱셈 구조를 활용하여 기본 IFS의 평균 그림자 성질을 더 복잡한 시스템으로 확장한다.
• 작은 변형 하에 스스로로 되돌아올 수 있는 점들을 분석하기 위해 체인 재진행 집합 정의를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수화된 IFS가 어떤 조건에서 평균 그림자 성질을 갖는가?
• RQ2 IFS의 공액성 또는 곱셈 구조에 의한 변환 과정에서 평균 그림자 성질이 유지되는가?
• RQ3 평균 그림자 성질이 공간의 모든 점이 체인 재진행 가능하다는 것을 의미하는가?
• RQ4 모든 점이 체인 재진행 가능하더라도 평균 그림자 성질을 만족하지는 않는 IFS가 존재하는가?
• RQ5 모든 점이 체인 재진행 가능하나 평균 그림자 성질을 만족하지 않는 IFS의 구체적 예는 무엇인가?

주요 결과

• 컴팩트 메트릭 공간 위의 균일하게 수축하는 모든 IFS는 평균 그림자 성질을 갖는다.
• 균일하게 수축하는 IFS의 특수한 경우인 시에르핀스키 IFS는 평균 그림자 성질을 만족한다.
• 컴팩트 메트릭 공간 위의 연속 전성 IFS가 평균 그림자 성질을 갖는다면, 공간의 모든 점이 체인 재진행 가능하다.
• 원주 S¹ 위에 존재하는 IFS 중 평균 그림자 성질을 만족하지 않지만, S¹의 모든 점이 체인 재진행 가능한 예가 존재한다.
• 역동학이 최소적이며 체인 재진행 가능하지만, 비균일한 수축성과 궤도 행동으로 인해 평균 그림자 성질에 실패하는 S¹ 위의 명시적 IFS가 구성된다.
• 시프모프스키 공간 Σ₂에서 이동 유사 맵 f₀과 f₁로 생성된 IFS는 균일하게 수축하므로 평균 그림자 성질을 갖으며, k > 1인 Fᵏ의 반복 또한 동일한 성질을 갖는다.