[논문 리뷰] Iterated homotopy fixed points for the Lubin-Tate spectrum, with an Appendix: An example of a discrete G-spectrum that is not hyperfibrant

Daniel G. Davis, Ben Wieland|arXiv (Cornell University)|2006. 10. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 확장된 Morava 안정자군 $G_n$ 의 닫힌 정규부분군 $H \trianglelefteq K \leq G_n$ 에 대해 Lubin-Tate 스펙트럼 $E_n$ 의 반복 호모토피 고정점 스펙트럼을 구축한다. $(E_n^{hH})^{hK/H} \simeq E_n^{hK}$ 를 증명하며, Devinatz와 Hopkins의 결과를 유한 몫이 아닌 경우로 확장한다. 여기서 Bousfield 국소화와 연속 $G$-스펙트럼 이론을 사용한다.

ABSTRACT

When G is a profinite group and H and K are closed subgroups, with H normal in K, it is not known, in general, how to form the iterated homotopy fixed point spectrum (Z^{hH})^{hK/H}, where Z is a continuous G-spectrum and all group actions are to be continuous. However, we show that, if G=G_n, the extended Morava stabilizer group, and Z=L_{K(n)}(E_n \wedge X), where L_{K(n)} is Bousfield localization with respect to Morava K-theory, E_n is the Lubin-Tate spectrum, and X is any spectrum with trivial G_n-action, then the iterated homotopy fixed point spectrum can always be constructed. Also, we show that (E_n^{hH})^{hK/H} is just E_n^{hK}, extending a result of Devinatz and Hopkins.

연구 동기 및 목표

• 연속 $G$-스펙트럼 $Z$ 에 대해 $H$ 가 $K$ 에서 열려 있지 않은 경우 반복 호모토피 고정점 스펙트럼 $(Z^{hH})^{hK/H}$ 의 구성 문제를 해결한다.
• 모든 $K/H$ 가 유한한 경우가 아닐 때도 알려진 동치 $(E_n^{hH})^{hK/H} \simeq E_n^{hK}$ 가 성립하는지 확장한다.
• $K(n)$-국소화를 사용하여 크로모틱 호모토피 이론에서 반복 호모토피 고정점을 형성하는 일반적 프레임워크를 제공한다.
• $\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X)$ 가 연속 $K/H$-스펙트럼임을 보여, 반복 호모토피 고정점의 구성이 가능하게 한다.
• 초과일관성 조건의 제한을 규명하기 위해, 초과일관성이 아닌 이산 $G$-스펙트럼을 명시적으로 구성한다.

제안 방법

• Bousfield 국소화 $\widehat{L} = L_{K(n)}$ 를 사용하여 $\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X)$ 를 대각 $K/H$-작용을 가진 연속 $K/H$-스펙트럼으로 구성한다.
• [2]의 연속 $G$-스펙트럼 이론을 적용하여 호모토피 고정점을 총 오른쪽 유도 함자로 정의한다.
• [4]에서 증명된 바와 같이 모든 닫힌 부분군 $K \leq G_n$ 에 대해 $E_n^{hK} \simeq E_n^{dhK}$ 이므로, 구성된 반복 고정점과 기존의 $K$-고정점 간의 관계를 유도한다.
• $\mathbb{Z}_q$--equivariant 등식 $\pi_0(X^{h\mathbb{Z}/p}) \cong \prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ 을 구성하여 모듈러 구조를 분석한다.
• $\mathbb{Z}_q$ 에 대한 $G$-equivariant 단사 사상 $i: \mathbb{Z}_q \to \prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ 을 사용하여, 이 곱이 이산 $\mathbb{Z}_q$-모듈러가 아니라는 것을 보여, 초과일관성이 아님을 증명한다.
• 행동의 연속성에 의한 모순을 적용: 만약 곱이 이산이었다면 $\mathbb{Z}_q$ 는 이산 $\mathbb{Z}_q$-집합이 되었을 것이며, 그렇지 않다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 $G$-스펙트럼 $Z$ 에 대해 $H$ 가 $K$ 에서 열려 있지 않은 경우 반복 호모토피 고정점 $(Z^{hH})^{hK/H}$ 는 구성 가능한가?
• RQ2 $K/H$ 가 유한한 것이 아니라 프로프로폰트일 경우 동치 $(E_n^{hH})^{hK/H} \simeq E_n^{hK}$ 는 성립하는가?
• RQ3 초과일관성이 아닌 이산 $G$-스펙트럼이 존재하는가? 만약 존재한다면 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 $E_n^{dhH}$ 에 대한 $K/H$-작용은 $\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X)$ 에 연속 $K/H$-스펙트럼 구조로 올릴 수 있는가?
• RQ5 $\prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ 이 이산 $\mathbb{Z}_q$-모듈러인가? 그리고 이는 초과일관성 조건에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• $\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X)$ 는 대각 $K/H$-작용을 가진 연속 $K/H$-스펙트럼이며, 반복 호모토피 고정점의 구성이 가능하게 한다.
• 반복 호모토피 고정점 스펙트럼 $(E_n^{hH})^{hK/H}$ 는 $K/H$ 가 프로프로폰트일지라도 $E_n^{hK}$ 와 동치이다.
• $\pi_0(X^{h\mathbb{Z}/p}) \cong \prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ 에 대한 $\mathbb{Z}_q$-작용은 이산이 아니며, 이는 스펙트럼 $X$ 가 초과일관성이 아님을 의미한다.
• $\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X)$ 를 연속 $K/H$-스펙트럼으로 구성함으로써, [2]의 이론을 적용하여 $(\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X))^{hK/H}$ 를 정의할 수 있다.
• $\prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ 은 행동의 연속성에 의한 모순을 통해 이산 $\mathbb{Z}_q$-모듈러가 아니라는 것이 증명되었다.
• 초과일관성이 아닌 이산 $G$-스펙트럼의 명시적 예가 구성되었으며, 이는 등변 스테이블 호모토피 이론에서의 질문을 해결한다.