[논문 리뷰] Iterated LD-Problem in non-associative key establishment

Arkadius Kalka, Mina Teicher|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 24.

Cryptography and Data Security참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비결합성 키 설정 프로토콜의 반복형을 도입하여, 왼쪽 자기분배성(LD), 다중-LD, 상호 LD-체계를 기반으로 하며, 보안을 위해 반복 LD-문제의 변형을 활용한다. 프로토콜은 브레이드 군, 대칭 군, 행렬 군에서 일반화된 이동 쌍대환원과 f-대칭 쌍대환원을 사용하여 구현되었으며, 암호학적 효율성과 알려진 공격에 대한 저항력을 고려한 매개변수 제안을 포함한다.

ABSTRACT

We construct new non-associative key establishment protocols for all left self-distributive (LD), multi-LD-, and mutual LD-systems. The hardness of these protocols relies on variations of the (simultaneous) iterated LD-problem and its generalizations. We discuss instantiations of these protocols using generalized shifted conjugacy in braid groups and their quotients, LD-conjugacy and $f$-symmetric conjugacy in groups. We suggest parameter choices for instantiations in braid groups, symmetric groups and several matrix groups.

연구 동기 및 목표

• 비결합성 대수적 구조, 특히 LD-체계와 그 일반화에 대해 개선된 키 설정 프로토콜(KEP)을 개발하는 것.
• 반복 LD-문제와 그 변형, 특히 동시 및 부분군 쌍대환원 코스 문제에 기반하여 보안을 강화하는 것.
• 유한체 및 유리함수체 위에서 브레이드 군, 대칭 군, 행렬 군에 대한 이러한 프로토콜의 구체적이고 효율적인 구현을 제공하는 것.
• 실제 구현을 고려하여, 생성자 차이의 중심화자 크기가 크도록 하는 매개변수 선택을 제안하여 대수적 공격에 대한 저항력을 높이는 것.
• 결합성 구조를 초월한 비결합성 암호학을 정형화하여, 부분 및 상호 LD-체계에 대한 프로토콜을 확장하는 것.

제안 방법

• [KT13]의 KEP를 LD-체계에 대해 반복형으로 제안하며, 평면 루트 이진 트리를 사용하여 반복된 왼쪽 자기분배 연산을 통해 공유 키 성분을 생성한다.
• 브레이드 군에서 일반화된 이동 쌍대환원 연산을 사용하여 LD-체계를 구축하며, 보안과 계산 효율성을 극대화하기 위해 매개변수를 선택한다.
• 행렬 군에서 링 F_q[X]/(X^N - 1) 위의 평가 자기형사 f를 사용하여, LD-체계를 위한 새로운 연산인 f-대칭 쌍대환원을 도입한다.
• 나무 기반의 군 원소 생성 방식(a0, b1, ..., bk)을 통해 LD 연산을 반복 적용하여 공유 키를 계산함으로써, 참가자 간의 키 일치를 보장한다.
• 쌍대환원 코스 문제를 기본 어려운 문제로 적용하며, 특히 브레이드 군에서 이 문제를 해결하는 것이 계산적으로 어렵다는 것을 제안한다.
• 모든 프로토콜은 MAGMA에서 구현되었으며, 코드와 구현 사례는 [KT13a]에 상세히 기재되어 있으며, 유한 및 무한 행렬 군 모두를 지원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 AAG 유사 기반의 프로토콜보다 더 안전한 비결합성 키 교환 프로토콜의 반복형을 구성할 수 있는가?
• RQ2 비결합성 체계에서 반복 LD-문제와 그 일반화의 하드 가정은 무엇인가?
• RQ3 브레이드 군과 행렬 군에서 이러한 프로토콜의 효율적이고 안전한 구현은 어떻게 실현할 수 있는가?
• RQ4 특히 생성자 차이의 중심화자가 크도록 하여 대수적 공격에 대한 저항력을 극대화하는 데 어떤 매개변수 선택이 가장 효과적인가?
• RQ5 행렬 군에서의 f-대칭 쌍대환원은 실용적인 효율성을 갖추고 비결합성 KEP의 실현 가능 플랫폼이 될 수 있는가?

주요 결과

• 반복 LD-문제와 그 변형, 특히 동시 및 쌍대환원 코스 문제는 비결합성 체계에서 암호학적 활용에 적합한 어려운 계산 문제로 밝혀졌다.
• 보안과 효율성을 확보하기 위해 브레이드 군(예: d=4, m=n=6, kA=kB=5, l=5)과 행렬 군(예: d=4, p=17, m=n=8, kA=kB=10)에 대한 구체적인 매개변수 세트를 제안하였다.
• F_q[X]/(X^N - 1) 위의 행렬 군에서 평가 자기형사 f의 사용은 f-대칭 쌍대환원 문제의 난이도를 유지하면서도 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• 생성자 차이(f(si sj^{-1}))의 중심화자가 크다는 것은 보안에 매우 중요하며, Gassner 표현에서 케이블링 또는 가역 브레이드 구조를 통해 이를 달성할 수 있다.
• 브레이드 군에서의 쌍대환원 코스 문제는 새로운 것으로서 관련성이 있으며, 기존의 표준 쌍대환원 문제보다 더 높은 저항성을 가질 수 있다.
• MAGMA를 통한 구현은 실현 가능성을 확인하였으며, 전체 코드와 구현 사례는 [KT13a]에 기재되어 있으며, 유한 및 무한 플랫폼 모두를 지원한다.