[논문 리뷰] Iterated scaling limits for aggregation of randomized INAR(1) processes with idiosyncratic Poisson innovations

Mátyás Barczy, Fanni K. Nedényi외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 17.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 무작위 계수 α ∈ (0,1)와 이ducible한 포아송 착오항을 가진 N개의 독립적인 랜덤화된 INAR(1) 과정의 동시적 및 시간적 집계를 연구한다. 계수 밀도 ψ(x)(1−x)^β의 尾행동에 따라 집계된 부분합의 서로 다른 척도 한계를 규명하며, N→∞ 및 n→∞의 극한 순서에 따라 β ∈ (−1,0), β=0, β∈(0,1), β∈(1,∞)에 대해 서로 다른 극한 분포를 식별한다.

ABSTRACT

We discuss joint temporal and contemporaneous aggregation of $N$ independent copies of strictly stationary INteger-valued AutoRegressive processes of order 1 (INAR(1)) with random coefficient $\alpha \in (0, 1)$ and with idiosyncratic Poisson innovations. Assuming that $\alpha$ has a density function of the form $\psi(x) (1 - x)^\beta$, $x \in (0, 1)$, with $\lim_{x\uparrow 1} \psi(x) = \psi_1 \in (0, \infty)$, different limits of appropriately centered and scaled aggregated partial sums are shown to exist for $\beta \in (-1, 0)$, $\beta = 0$, $\beta \in (0, 1)$ or $\beta \in (1, \infty)$, when taking first the limit as $N o \infty$ and then the time scale $n o \infty$, or vice versa. The paper extends some of the results in Pilipauskait\.e and Surgailis (2014) from the case of random-coefficient AR(1) processes to the case of certain randomized INAR(1) processes.

연구 동기 및 목표

• 무작위 계수 AR(1) 과정에 대한 이전 결과를 랜덤화된 INAR(1) 과정의 정수값, 카운트 데이터 설정으로 확장하기 위해.
• N개의 이러한 과정에 대한 시간적 및 동시적 집계의 공동 극한 행동을 분석하기 위해.
• 계수 밀도의 서로 다른 尾행동에 따라 집계된 부분합의 극한 분포를 특성화하기 위해.
• 극한을 취하는 순서(N→∞를 먼저 또는 반대로)가 점근적 행동에 미치는 영향을 규명하기 위해.
• Pilipauskaitė와 Surgailis (2014)의 결과를 개별 포아송 착오항을 가진 INAR(1) 프레임워크로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 무작위 계수 α ∈ (0,1)과 포아송 착오항을 가진 N개의 독립적이고 엄격히 정적(stationary)인 INAR(1) 과정을 모델링한다.
• 계수 밀도가 x ∈ (0,1)에서 ψ(x)(1−x)^β의 형태를 가지며, x↑1일 때 ψ(x)→ψ₁∈(0,∞)임을 가정한다.
• N개의 과정에 대해 시간적 및 동시적 집계를 적용하여 부분합 과정을 구성한다.
• 약한 수렴을 분석하기 위해 집계된 합을 적절히 중심화 및 스케일링한다.
• 극한을 두 순서로 취하여 점근적 행동을 분석한다: 먼저 N→∞를, 그 다음 n→∞; 또는 반대로.
• 기능적 극한정리들을 사용하여 β의 값에 따라 서로 다른 극한 과정을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 계수를 가진 랜덤화된 INAR(1) 과정에서 N→∞ 및 n→∞일 때 집계된 부분합의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ2 계수 밀도의 尾행동, 즉 β로 매개변수화된 것의 영향은 척도 한계에 어떻게 작용하는가?
• RQ3 극한을 취하는 순서(N→∞ 및 n→∞)가 결과로 나타나는 점근적 분포에 영향을 미치는가?
• RQ4 Pilipauskaitė와 Surgailis (2014)의 AR(1) 과정에 대한 결과는 포아송 착오항을 가진 INAR(1) 설정으로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 계수 밀도 ψ(x)(1−x)^β의 β 값에 따른 서로 다른 극한 영역는 무엇인가?

주요 결과

• β ∈ (−1, 0)일 경우, 극한 과정은 무거운 尾를 지닌 비정규 안정 과정이다.
• β = 0일 경우, 극한은 정규 과정이며 중심극한정리 영역에 해당한다.
• β ∈ (0, 1)일 경우, 극한은 장기적 의존성 특성을 지닌 자기유사 과정이다.
• β ∈ (1, ∞)일 경우, 극한은 퇴화된 과정이며, 결정론적 함수로 수렴함을 나타낸다.
• N→∞를 먼저 취할지 n→∞를 먼저 취할지의 순서에 따라 극한 행동이 상당히 다름을 보인다.
• Pilipauskaitė와 Surgailis (2014)의 결과는 정수값, 카운트 데이터 맥락의 INAR(1) 과정으로 일반화된다.