[논문 리뷰] Iteration Complexity of Variational Quantum Algorithms

Vyacheslav Kungurtsev, Georgios Korpas외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 21.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 근접한 양자 하드웨어에서 흔히 발생하는 노이즈 있고 편향된 양자 평가 조건 하에서 변분 양자 알고리즘(VQAs)의 반복 복잡도 보장을 수립한다. 노이즈로 인해 기울기 추정치가 열악해지더라도 저자들은 수렴 속도가 그대로 유지됨을 증명한다. 그러나 편향은 점근적 수렴 거리와 수렴 상수를 악화시킨다.

ABSTRACT

There has been much recent interest in near-term applications of quantum computers, i.e., using quantum circuits that have short decoherence times due to hardware limitations. Variational quantum algorithms (VQA), wherein an optimization algorithm implemented on a classical computer evaluates a parametrized quantum circuit as an objective function, are a leading framework in this space. An enormous breadth of algorithms in this framework have been proposed for solving a range of problems in machine learning, forecasting, applied physics, and combinatorial optimization, among others. In this paper, we analyze the iteration complexity of VQA, that is, the number of steps that VQA requires until its iterates satisfy a surrogate measure of optimality. We argue that although VQA procedures incorporate algorithms that can, in the idealized case, be modeled as classic procedures in the optimization literature, the particular nature of noise in near-term devices invalidates the claim of applicability of off-the-shelf analyses of these algorithms. Specifically, noise makes the evaluations of the objective function via quantum circuits biased. Commonly used optimization procedures, such as SPSA and the parameter shift rule, can thus be seen as derivative-free optimization algorithms with biased function evaluations, for which there are currently no iteration complexity guarantees in the literature. We derive the missing guarantees and find that the rate of convergence is unaffected. However, the level of bias contributes unfavorably to both the constant therein, and the asymptotic distance to stationarity, i.e., the more bias, the farther one is guaranteed, at best, to reach a stationary point of the VQA objective.

연구 동기 및 목표

• 실제 노이즈 조건에서의 변분 양자 알고리즘(VQAs) 이론적 이해의 핵심적 격차를 메우기 위해 반복 복잡도 보장을 제공하는 것.
• 근접한 하드웨어 제약으로 인해 발생하는 양자 회로 평가의 편향이 VQAs에서 사용되는 도함수 기반 최적화 방법의 수렴에 미치는 영향을 분석하는 것.
• SPSA, 두 점 함수 근사(2PFA), 및 파ameter shift 규칙(PSR)의 수렴 속도와 점근적 편향 측면에서 성능을 비교하는 것.
• 수렴 속도는 편향에 영향을 받지 않지만, 점근적 오차와 수렴 상수가 편향 증가에 따라 악화됨을 확립하는 것.
• SPSA가 고전적 환경에서는 최적성이 떨어지지만 실증적으로 VQA에서 성공한 데 이르는 이론적 근거를 제공하는 것.

제안 방법

• 양자 노이즈로 인한 편향된 함수 평가를 고려해 VQA 최적화를 확률적이고 도함수 기반 최적화 문제로 모델링하는 것.
• 고전적 0차 최적화 수렴 분석을 양자 회로의 편향된 평가를 반영하도록 수정하는 것.
• 편향된 함수 평가 조건 하에서 SPSA와 2PFA의 반복 복잡도 경계를 유도하여, 표준 확률적 경사하강법과 동일한 수렴 속도를 확보함을 보이는 것.
• 이론적 분석을 통해 편향이 수렴 상수와 점근적 정류점 오차에 미치는 영향을 정량화하는 것.
• 다양한 펄스 크기(c)와 스텝 사이즈(α) 조건 하에서 수치 실험을 통해 SPSA, 2PFA, PSR의 수렴 속도와 목적 함수 안정성 측정.
• 수렴 품질과 강건성 결정에 영향을 주는 펄스 크기와 스텝 사이즈 간의 트레이드오프 분석

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 회로 평가의 편향이 VQA의 도함수 기반 최적화 방법의 반복 복잡도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 SPSA와 2PFA의 수렴 속도가 편향된 함수 평가 조건 하에서도 떨어지지 않고 유지되는가, 아니면 노이즈로 인해 저하되는가?
• RQ3 편향 수준이 VQA 최적화에서 정류점으로의 점근적 거리에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 SPSA와 2PFA의 수렴 품질과 강건성 결정에 있어 펄스 크기와 스텝 사이즈 간의 트레이드오프는 어떠한가?
• RQ5 SPSA가 고전적 환경에서는 최적성이 떨어지지만 실무에서는 2PFA를 능가하는 이유는 무엇이며, 이는 편향과 분산과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• SPSA와 2PFA의 VQA 수렴 속도는 편향된 함수 평가 조건 하에서도 유지되며, 표준 확률적 경사하강법과 동일한 속도를 보인다.
• 양자 평가의 편향은 정류점으로의 점근적 거리를 증가시켜 알고리즘이 진정한 최적점에서 더 멀리 수렴하게 한다.
• 더 큰 편향은 수렴 경계 상수를 증가시켜 수렴 속도의 배수 계수를 악화시킨다.
• SPSA는 특히 큰 펄스 크기 조건에서 높은 편향 환경에서 2PFA보다 더 빠른 수렴을 보이며, 높은 분산에도 불구하고 성능이 뛰어나다.
• 작은 펄스 크기와 큰 스텝 사이즈 조건에서는 SPSA가 속도와 강건성 사이에 유리한 균형을 이룹니다. 이는 안정성과 수렴 품질 측면에서 2PFA를 능가합니다.
• 파ameter shift 규칙(PSR)은 특정 경우에 정확한 기울기를 제공하지만, 적용 범위가 좁은 회로 클래스에 국한되며, SPSA는 노이즈 조건 하에서도 광범위하게 적용 가능합니다.