[논문 리뷰] Iterative frequency-domain seismic wave solvers based on multi-level domain-decomposition preconditioners

V. Dolean, P. Jolivet외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 14.

Seismic Imaging and Inversion Techniques인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비정렬 삼각형 메esh에서 연속 유한요소와 다수준 도메인 분할 조절자(preconditioner)를 사용한 대규모 병렬 반복 주파수 도메인 지진파 해법을 제시한다. 이는 대규모 3D 전체파형 역산 문제(full-waveform inversion, FWI)에 대해 높은 확장성과 효율성을 달성하며, 1-level 조절자 대비 20 Hz에서 시뮬레이션 시간을 50% 이상 단축시켰다(90초 대비 298초), 동시에 h-적응성과 물리적 감쇠를 고려한 SEG/EAGE Overthrust 모델에서 정확도를 유지한다.

ABSTRACT

Frequency-domain full-waveform inversion (FWI) is suitable for long-offset stationary-recording acquisition, since reliable subsurface models can be reconstructed with a few frequencies and attenuation is easily implemented without computational overhead. In the frequency domain, wave modelling is a Helmholtz-type boundary-value problem which requires to solve a large and sparse system of linear equations per frequency with multiple right-hand sides (sources). This system can be solved with direct or iterative methods. While the former are suitable for FWI application on 3D dense OBC acquisitions covering spatial domains of moderate size, the later should be the approach of choice for sparse node acquisitions covering large domains (more than 50 millions of unknowns). Fast convergence of iterative solvers for Helmholtz problems remains however challenging due to the non definiteness of the Helmholtz operator, hence requiring efficient preconditioners. In this study, we use the Krylov subspace GMRES iterative solver combined with a multi-level domain-decomposition preconditioner. Discretization relies on continuous finite elements on unstructured tetrahedral meshes to comply with complex geometries and adapt the size of the elements to the local wavelength ($h$-adaptivity). We assess the convergence and the scalability of our method with the acoustic 3D SEG/EAGE Overthrust model up to a frequency of 20~Hz and discuss its efficiency for multi right-hand side processing.

연구 동기 및 목표

• 초장거리 오프셋 설문을 위한 3D 주파수 도메인 전체파형 역산(FWI)에서 대규모 헬름홀츠 문제를 해결하는 데 도전한다.
• 지진파 모델링에서 부정정의 헬름홀츠 연산자에 대해 반복 해법의 느린 수렴성과 높은 메모리 비용을 극복한다.
• 복잡한 기하학과 변동하는 파장 해상도를 갖는 대규모 영역(5000만 도핑스 이상)에서의 효율적 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• FWI 응용에서 일반적인 다수의 우변(소스)을 고려한 확장성과 성능을 향상시킨다.
• 초고성능 컴퓨팅 플랫폼(예: 슈퍼컴퓨터)에 적합한 강력한 병렬 해법을 개발한다.

제안 방법

• 주파수 도메인의 헬름홀츠 방정식을 해결하기 위해 GMRES Krylov 부분공간 반복 해법을 사용한다.
• 수렴을 가속화하기 위해 최적화된 제한된 덧셈 샤츠(ORAS) 두 수준 도메인 분할 조절자를 적용한다.
• h-적응성과 기하학적 융통성 확보를 위해 비정렬 삼각형 메쉬에서 연속 P2 유한요소를 적용한다.
• 정밀한 유한요소 공간에서 더 넓은 공간으로의 보간을 통해 굵은 격자 보정을 구현하여 조절성을 향상시킨다.
• 수천 코어에서 고성능 병렬 구현을 위해 HPDDM 라이브러리를 활용한다.
• 가짜 블록 GMRES를 통해 다수의 소스를 효율적으로 처리하고, 흡수 경계 조건을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다수준 도메인 분할 조절자가 지진 FWI의 대규모 3D 헬름홀츠 문제에 대해 확장 가능하고 효율적인 반복 해법을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ2 문제 크기와 주파수가 증가함에 따라 제안된 해법의 반복 횟수와 런타임 확장성은 어떻게 평가되는가?
• RQ3 비정렬 삼각형 메쉬의 h-적응성은 구조적 직각좌표 메쉬에 비해 자유도를 얼마나 줄이고 계산 효율을 향상시키는가?
• RQ4 특히 고주파수에서, 두 수준 조절자가 한 수준 방법에 비해 반복 횟수를 얼마나 줄이는가?
• RQ5 블록 GMRES를 통해 다수의 소스를 효율적으로 처리할 수 있으며, 어떤 정도의 속도 향상이 달성되는가?

주요 결과

• 20 Hz에서 적응형 삼각형 메쉬에서 두 수준 조절자를 사용함으로써 GMRES 반복 횟수는 528회에서 68회로 감소하여 수렴성이 크게 향상되었다.
• 12,288 코어에서 20 Hz 시뮬레이션 시간은 1-level 조건에서 298초에서 2-level 조건으로 90초로 감소하여 70% 감소하였다.
• 20 Hz에서 삼각형 메쉬는 직각좌표 메쉬 대비 자유도를 2.07배 감소시켜 계산 효율성을 향상시켰다.
• 물리적 감쇠(Q=200)를 고려할 경우, 10 Hz에서 반복 횟수는 27회에서 19회로 감소하였고 런타임도 20초에서 14초로 단축되어 조건이 개선되었음을 확인하였다.
• Occigen 슈퍼컴퓨터에서 강력한 확장성을 입증하였으며, 1,536에서 12,288 코어에 걸쳐 성능이 유지되었다.
• 가짜 블록 GMRES는 10개의 소스 블록에서 약 2배의 속도 향상을 달성하여 다수의 소스를 갖는 FWI에 유망한 성능을 보였다.