[논문 리뷰] Iwasawa Invariants of Some Non-Cyclotomic $\mathbb Z_p$-extensions

David Hubbard, Lawrence C. Washington|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 p = 2 및 p = 3일 때 비순환 ℤₚ-확장에 대해 Iwasawa 불변량(λ, μ, ν)을 직접 계산하며, Iwasawa의 구성(반순환 ℤₚ-확장과 차수 p의 순환 확장을 포함)을 사용한다. 주요 기여는 s가 기저 체에서 분해되지 않고 순환 확장에서 분기하는 경우 μ = s − 1임을 증명하고, 여러 사례에서 명시적인 계산을 통해 이를 확인한 것이다.

ABSTRACT

Iwasawa showed that there are non-cyclotomic $\mathbb Z_p$-extensions with positive $μ$-invariant. We show that these $μ$-invariants can be evaluated explicitly in many situations when $p=2$ and $p=3$.

연구 동기 및 목표

• p = 2 및 p = 3일 때 비순환 ℤₚ-확장에 대해 Iwasawa 불변량 μ, λ, ν의 명시적 값을 결정하는 것.
• Iwasawa의 하한 μ ≥ s − 1 이론이 비순환 설정에서 정확한지 조사하는 것.
• p-주기 반환이 그 성장 양상을 평가하기 위해 특정 수체 Kₙ = kₙ(√[p]{q})의 반환이 수를 계산하는 것.
• Galois 작용 하에서 고정된 이상적 클래스와 단위군 지표의 역할을 분석하여 μ-불변량을 결정하는 것.
• 지역 및 전역 노름 조건에 기반해 μ > s − 1가 되는 조건을 탐색하는 것.

제안 방법

• Iwasawa의 구성 사용: 허수 제곱수체 k₀를 시작으로, 그 반순환 ℤₚ-확장 k∞/k₀를 취하고, 차수 p의 순환 확장 K₀/k₀를 통해 기저 변경하여 K∞/K₀를 형성한다.
• Chevalley의 공식을 적용하여 순환 확장에서 클래스군의 G-고정 부분군 크기를 추정함으로써 Kₙ의 p-부분 반환이 수를 추정한다.
• p-서일러 부분군의 역극한 X = lim← Aₙ을 Λ = ℤₚ[[T]]-모듈로 간주하여, 모듈 구조를 통해 μ-불변량을 분석한다.
• k₀/ℚ에서 분해되지 않는 소수들은 k∞/k₀에서 완전히 분해되므로, K∞/K₀에서의 분기성은 K₀/k₀에서 q 위의 소수들에서만 발생한다.
• 특정 n(특히 n = 1)에 대해 대수적 수론 도구(단위군 지표 및 국소 노름 포함)를 사용하여 명시적인 반환이 수 계산을 수행한다.
• h₂′(관련 체의 반환이 수)와 eₙ에 대한 부등식을 사용하여 μ의 가능한 값을 제약하며, 특히 μ = 0 또는 μ = 1일 경우에 중점을 둔다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p = 3 또는 p = 2일 때 비순환 ℤₚ-확장에서 Iwasawa의 하한 μ ≥ s − 1이 정확한가?
• RQ2 비순환 설정에서 μ-불변량의 정확한 값을 명시적으로 계산할 수 있으며, 그 조건은 무엇인가?
• RQ3 Iwasawa의 구성에서 μ = s − 1 또는 μ > s − 1가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 지역 노름 조건과 단위군 지표는 ℤₚ-확장에서 μ-불변량에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 Kₙ = kₙ(√[p]{q})에 대한 명시적인 반환이 수 계산을 통해 μ, λ, ν 불변량을 유추할 수 있는가?

주요 결과

• p = 3이고 q ≡ 2 또는 5 mod 9일 때, ℚ(ζ₃, √[3]{q})의 반환이 수는 3으로 나누어지지 않으며, 따라서 ℤ₃-확장에서 μ = λ = ν = 0이다.
• q ≡ 8 mod 9일 때, K₀ = ℚ(ζ₃, √[3]{q})의 반환이 수는 3으로 나누어지지 않으며, A₀^τ = 1이므로 μ = λ = ν = 0이다.
• q ≡ 8 mod 9이고 A₁ = 9 × 3일 때, 단위군 지표는 3이며 e₁ − e₀ = 3이므로 0 ≤ μ ≤ 1이다. 그러나 h₂에 대한 타당한 가정 하에 μ = 0임이 유도된다.
• q = 89, 449, 431, 647, 719, 683, 773이며 A₁ = 3²일 때, 단위군 지표는 3²이며 0 ≤ μ ≤ 1이다; h₂에 대한 가정 하에 μ = 0일 가능성이 높다.
• q = 269, 521, 809이며 A₁ = 9² × 3²일 때, 단위군 지표는 3²이며 0 ≤ μ ≤ 3이다; q = 269, 809일 경우 μ ≤ 1일 가능성이 높고, q = 521일 경우 μ ≤ 2일 가능성이 높다.
• q = 827이며 A₁ = 27 × 9 × 3²일 때, 단위군 지표는 3이며 0 ≤ μ ≤ 3이다; h₂ ∣ (h₂′)²라는 가정 하에 μ = 0이 유도된다.