[논문 리뷰] Iwasawa Main Conjecture for $p$-adic families of elliptic modular cuspforms

Tadashi Ochiai|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 40인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비보통 타원 모듈라 촘플러폼의 $p$-진 가족(콜럼브 가족)에 대해, 새로 구성한 콜럼브 맵을 사용하여 오일러 시스템 방법을 통해 두 변수 이와사와 주요 추측을 증명한다. 핵심 결과는 갈루아 이미지 조건(SL) 하에서 두 변수 이와사와 대수에서 샬레르 군과 $p$-진 $L$-함수 사이의 특성 이상수 등식을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

In this article, we discuss Iwasawa Main Conjecture for $p$-adic families of elliptic modular cuspforms. After the overview on the situation of the ordinary case of Hida family, we will introduce a Coleman map for Coleman family for the non-ordinary case (Coleman family) which was obtained as a joint work with Filippo Nuccio [NO16] and we give some results on Iwasawa Theory for Coleman families as applications of . First, we give a construction of a two-variable $p$-adic $L$-function for a Coleman family thanks to the ingredients given in [NO16] (Theorem 5.1). Combining this result and Coleman map obtained in [NO16], we also construct Beilinson-Kato Euler systems over a Coleman family (Thorem 5.3). Finally we formulate Iwasawa Main conjecture for a Coleman family and prove the half of Iwasawa Main Conjecture (Theorem 5.6).

연구 동기 및 목표

• 보통 $p$-진 가족(Hida 가족)에서 비보통 $p$-진 가족(Coleman 가족)의 타원 모듈라 촘플러폼으로 이와사와 주요 추측을 확장하는 것.
• 특히 격자 의존성과 복소 주기 선택과 관련된 고전 이론의 빈도를 메우기 위한 것.
• 비보통 설정에서 이와사와 이론의 기본 도구로 쓸 수 있는 콜럼브 가족을 위한 콜럼브 맵을 구성하는 것.
• 오일러 시스템 방법을 사용하여 콜럼브 가족에 대해 두 변수 이와사와 주요 추측을 증명하고 특성 이상수 등식을 확립하는 것.
• 비보통 케이스에 대한 체계적인 다루기, 특히 이전 문헌에서 자주 간과되는 미묘한 기술적 문제들을 포함하는 것.

제안 방법

• 필리포 누치오와의 공동 방법을 통해 콜럼브 가족에 대한 콜럼브 맵을 구성함으로써, 비보통 설정에서 $p$-진 $L$-함수와 샬레르 군을 연구할 수 있도록 한다.
• 베일린스킨-카토 오일러 시스템을 콜럼브 가족에 적용하고, 콜럼브 맵을 통해 코homological 클래스와 $p$-진 $L$-함수를 연결한다.
• 두 변수 설정에서 일반화된 이와사와 주요 추측 프레임워크를 사용하며, 이와사와 대수 $\Lambda_{(k_0;r),\mathcal{O}_K}\widehat{\otimes}_{\mathbb{Z}_p}\Lambda_{\mathrm{cyc}}$를 사용한다.
• 특히 순환 문자로 휘감긴 쌍대 표현의 $H^1$ 및 $H^2$ 군을 포함한 샬레르 군과 갈루아 코hom올로지의 기계를 구현한다.
• 일반적인 오일러 시스템 함의 조건인 정리 4.5를 적용하여, (SL) 조건 하에서 특성 이상수 등식을 유도한다.
• 제어 정리와 가짜-무한소부분군 분석을 활용하여 토르션 모듈을 다루고 특성 이상수 진술의 타당성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 타원 모듈라 촘플러폼의 보통 $p$-진 가족에서 비보통 $p$-진 가족으로 이와사와 주요 추측을 확장할 수 있는가?
• RQ2 콜럼브 맵은 비보통 가족의 $p$-진 $L$-함수와 오일러 시스템을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 오일러 시스템 방법은 비보통 케이스의 두 변수 이와사와 이론에 어떻게 적용되는가?
• RQ4 비보통 설정에서 샬레르 군과 $p$-진 $L$-함수의 특성 이상수가 일치하는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ5 갈루아 이미지 조건 (SL)은 두 변수 이와사와 주요 추측의 타당성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• SL 조건 하에서 두 변수 이와사와 대수에서 샬레르 군과 $p$-진 $L$-함수 사이의 특성 이상수 등식이 성립함을 보였다.
• 콜럼브 가족을 위한 콜럼브 맵의 구성은 가족 전반에 걸쳐 임계 $L$-값을 보간하는 $p$-진 $L$-함수의 정의를 가능하게 한다.
• 콜럼브 맵을 사용하여 콜럼브 가족 위에서 베일린스킨-카토 오일러 시스템을 구성함으로써 갈루아 표현에 대한 코homological 오일러 시스템을 제공한다.
• SL 조건 하에서 샬레르 군 $H^1(\mathbb{Q}_\Sigma/\mathbb{Q}, (\mathbb{T} \widehat{\otimes}_{\mathbb{Z}_p} \Lambda^\sharp_{\mathrm{cyc}})^*(1))$이 오일러 시스템 클래스를 모odulo한 것과 $H^2$-항의 특성 이상수가 동일하다고 밝혀졌다.
• $H^2(\mathbb{Q}_\Sigma/\mathbb{Q}, (\mathbb{T} \widehat{\otimes}_{\mathbb{Z}_p} \Lambda^\sharp_{\mathrm{cyc}})^*(1))$의 토르션 성격이 입증되었으며, 이는 특성 이상수 등식의 핵심 단계이다.
• 특히 $p$를 나누는 수준을 가진 보통 형식에 대해 카토의 작업에서의 기술적 빈도를 메우기 위해, 격자 의존성과 주기 선택에 대한 상세한 다루기가 이루어졌다.