[논문 리뷰] Iwasawa Main Conjecture for Rankin-Selberg p-adic L-functions

Xin Wan|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 18.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 높은 무게의 CM 형식과 히다 가족의 모듈라 형식에 대응하는 랭킨-셀버그 p진 L함수에 대한 아이와사와 주요 추측의 하나의 약수성을 증명한다. 이는 GU(3,1) 위에서의 킬링-아이젠스타인 급수와 측두형식 사이의 합동을 통해 이루어지며, p진 L함수가 관련된 세일머 그룹의 특성 이상수를 나누는 것을 입증함으로써, 역으로 고로스-자지어-콜리바진 정리와 p진 버치 및 스위너튼-다이어 공식의 응용이 가능하게 한다. 이는 랭크 1의 경우에 해당한다.

ABSTRACT

In this paper we prove that the p-adic L-function that interpolates the Rankin-Selberg product of a general modular form and a CM form of higher weight divides the characteristic ideal of the corresponding Selmer group. This is one divisibility of the Iwasawa main conjecture for the p-adic L-function. We prove this conjecture using the congruences between Klingen Eisensteinseries and cusp forms on the group GU(3; 1), following the strategy of a recent work of C. Skinner and E. Urban. This theorem can be used to deduce a converse of Gross-Zagier-Kolyvagin theorem and the precise BSD formula in the rank one case.

연구 동기 및 목표

• 히다 가족과 CM 형식의 곱으로 유도된 p진 L함수에 대해 아이와사와 주요 추측의 하나의 약수성을 확립하기.
• 스키너와 어바니의 방법을 확장하여, 단위군 GU(3,1)에서의 합동을 사용함으로써, 비일반적인 상황에서 일반적인 푸리에-야코비 전개를 다룰 수 있도록 하기.
• 역으로 고로스-자지어-콜리바진 정리와 분석적 랭크 1에서의 정확한 p진 BSD 공식을 포함한 산술적 응용을 도출하기.
• 초월적 타원곡선에 대한 아이와사와 주요 추측을 증명하기 위한 기초 단계를 제공하기.

제안 방법

• 비판적 중심값에서 랭킨-셀버그 L함수의 특수값을 포함하는 Σ-초기형 p진 L함수를 배치 방법을 통해 구성한다.
• GU(3,1) 위에서의 킬링-아이젠스타인 급수와 측두형식 사이의 합동을 사용하여, p진 L함수와 세일머 그룹을 연결한다.
• 일반적인 푸리에-야코비 전개를 다루기 위해, 고유한 무게의 CM 형식과 비일반적인 상황에 적합하게 스키너와 어바니의 전략을 변형 적용한다.
• 완비화된 정수환 위의 아이와사와 대수에서 피팅 이상수와 특성 이상수를 사용하여, 세일머 그룹과 p진 L함수를 비교한다.
• 국소화 및 기저 변경 추론을 통해 주요 정리를 더 큰 환 위의 진술로 감소시키고, 정규성과 유한성에 의해 원래 환으로 되돌린다.
• 시겔 모듈라 다양체의 호모로지 위에서의 갈루아 표현에 관련된 의사표현을 사용하여 세일머 그룹의 구조를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히다 가족과 높은 무게의 CM 형식의 랭킨-셀버그 곱에 대응하는 p진 L함수가 관련된 세일머 그룹의 특성 이상수를 나누는가?
• RQ2 GU(3,1)에서 아이젠스타인 급수와 측두형식 사이의 합동 방법을 비일반적이고 고유한 무게의 상황으로 확장하여 아이와사와 주요 추측의 한 쪽을 증명할 수 있는가?
• RQ3 배치 방법을 통해 구성된 p진 L함수가 아이와사와 이론에서 이중 세일머 그룹의 구조를 얼마나 잘 제어하는가?
• RQ4 이 p진 L함수에 대한 아이와사와 주요 추측이 고로스-자지어-콜리바진 정리의 역을 어떻게 유도하는가?
• RQ5 분석적 랭크 1의 경우에 p진 L함수와 세일머 그룹의 특성 이상수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• p진 L함수 $τ_{\mathbf{f},\xi,\mathcal{K}}^{\Sigma}$ 는 이중 세일머 그룹 $X_{\mathbf{f},\mathcal{K},\xi}$ 의 특성 이상수를 나누며, 아이와사와 주요 추측의 하나의 약수성을 증명한다.
• 이 증명은 GU(3,1) 위에서의 킬링-아이젠스타인 급수와 측두형식 사이의 합동에 기반하며, 스키너와 어바니의 전략을 고유한 무게의 CM 경우로 확장한다.
• 세일머 그룹의 피팅 이상수는 p진 L함수에 의해 생성된 이상수에 포함되며, 이는 세일머 그룹의 특성 이상수가 L함수를 나눈다는 것을 의미한다.
• 무게 2의 단일 형식 $f_0$로 전환하면, 이 결과는 분석적 랭크 1의 경우에 p진 BSD 공식을 유도한다.
• 배치 방법을 통한 p진 L함수의 구성은 중심 비판적 점에서의 L함수의 대수적 부분이 중심값에서 보존되도록 보장한다.
• 비분할 소수와 국소 오일러 인자들은, 낮은 랭크 아이와사와 대수에서의 역상이 아닌 높이 1의 소수로 다루어져서 처리된다.