[논문 리뷰] Iwasawa Main Conjecture for Rankin-Selberg $p$-adic $L$-functions: Non-Ordinary Case

Xin Wan|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 04.

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한 줄 요약

이 논문은 비일반적인 경우에서 Iwasawa-Greenberg 주요 추측의 약수성을 증명하며, 무게 2의 모듈러 형식과 더 높은 무게의 일반적인 CM 형식에 대응하는 $p$-adic $L$-함수는 해당 세일러 그룹의 특성 이상을 포함한다. 이 결과는 이전 연구를 비일반적인 설정으로 확장하며, 초특이 타원곡선에 대한 Iwasawa 주요 추측과 정밀한 Birch-Swinnerton-Dyer 공식을 증명하는 데 핵심적인 역할을 한다.

ABSTRACT

In this paper we prove that the $p$-adic $L$-function that interpolates the Rankin-Selberg product of a general weight two modular form which is unramified and non-ordinary at $p$, and an ordinary CM form of higher weight contains the characteristic ideal of the corresponding Selmer group. This is one divisibility of the Iwasawa-Greenberg main conjecture for the $p$-adic $L$-function. This generalizes an earlier work of the author to the non-ordinary case. The result of this paper plays a crucial role in the proof of Iwasawa main conjecture and refined Birch-Swinnerton-Dyer formula for supersingular elliptic curves.

연구 동기 및 목표

• 비일반적인 경우에서 $p$-adic $L$-함수에 대한 Iwasawa-Greenberg 주요 추측의 약수성을 확립한다.
• 이전의 일반적인 $p$-adic $L$-함수에 대한 결과를, 무게 2의 모듈러 형식과 더 높은 무게의 일반적인 CM 형식을 포함하는 비일반적인 설정으로 일반화한다.
• 초특이 타원곡선에 대한 Iwasawa 주요 추측과 정밀한 Birch-Swinnerton-Dyer 공식 증명에 핵심적인 요소를 제공한다.
• Rankin-Selberg $L$-함수를 보간하는 $p$-adic $L$-함수가 관련 세일러 그룹의 특성 이상을 포함함을 보여준다.

제안 방법

• 무게 2의 모듈러 형식이 $p$에서 비분해되고 비일반적이며, 더 높은 무게의 일반적인 CM 형식에 대해 Rankin-Selberg 방법을 통해 구성된 $p$-adic $L$-함수를 활용한다.
• Iwasawa 이론의 기법을 적용하여 $p$-adic $L$-함수를 세일러 그룹의 특성 이상과 연결한다.
• 특히 보간 성질과 $p$-adic 해석적 성질에 중점을 두어, 비일반적인 설정에서의 $p$-adic $L$-함수 이론을 활용한다.
• 일반적인 CM 형식의 구조를 활용하여, 비일반적인 무게 2 형식의 영향에도 불구하고 $p$-adic $L$-함수의 행동을 제어한다.
• 특성 이상과 $p$-adic $L$-함수의 보간 및 세일러 그룹 제어를 통한 비교를 통해 약수성을 확립한다.
• 특성 이상의 성립을 달성하기 위해, 비일반적인 상황에서의 오일러 시스템 이론과 $p$-adic $L$-함수의 구조를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비일반적인 무게 2의 모듈러 형식과 일반적인 CM 형식의 Rankin-Selberg 곱에 대응하는 $p$-adic $L$-함수가 관련 세일러 그룹의 특성 이상을 포함하는가?
• RQ2 Iwasawa 주요 추측을 일반적인 $p$-adic $L$-함수에서 비일반적인 경우로 확장할 수 있는가?
• RQ3 한 요소가 $p$에서 비일반적이고 다른 요소가 일반적인 경우, $p$-adic $L$-함수의 구조는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 CM 형식은 비일반적인 설정에서 $p$-adic $L$-함수의 행동을 어떻게 제어하는가?
• RQ5 이 결과는 초특이 타원곡선에 대한 정밀한 Birch-Swinnerton-Dyer 공식에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 비일방적인 무게 2의 모듈러 형식과 더 높은 무게의 일반적인 CM 형식의 Rankin-Selberg $L$-함수를 보간하는 $p$-adic $L$-함수는 해당 세일러 그룹의 특성 이상을 포함한다.
• 이 포함관계는 비일반적인 경우에서 Iwasawa-Greenberg 주요 추측의 약수성을 확립한다.
• 이 결과는 이전 연구에서 제한된 일반적인 설정으로부터의 일반화를 이루며, 주요 추측의 유효성을 비일반적인 $p$-adic $L$-함수로 확장한다.
• 증명은 $p$-adic $L$-함수, 세일러 그룹, 그리고 비일반적 맥락에서의 CM 형식의 특수한 구조 간의 상호작용에 기반한다.
• 이 작업은 Iwasawa 주요 추측과 초특이 타원곡선에 대한 정밀한 Birch-Swinnerton-Dyer 공식 증명을 위한 결정적인 단계를 제공한다.
• 비일반적인 행동으로 인한 기술적 과제를 해결하기 위해, CM 형식의 일반성 구조를 활용하여 성공적으로 처리하였다.