[논문 리뷰] Iwasawa Main Conjecture for Supersingular Elliptic Curves and BSD conjecture

Xin Wan|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 52인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 Iwasawa 주요 추측을 초순수 타원곡선에 대해 홀수 소수 $p$에서 $a_p = 0$인 경우에 증명하며, $ \mathrm{U}(3,1)$ 상에서의 Eisenstein 동치관계를 통해 보편적인 Iwasawa 이론으로의 새로운 환원을 사용하고, Beilinson-Flach 원소에 대한 명시적 상호작용 법칙을 적용한다. 주요 결과는 무한히 많은 비-CM 타원곡선과 그 이차 변형에 대해 전체 Birch 및 Swinnerton-Dyer 추측을 확립하며, 비일반적인 Iwasawa 이론에서 오랫동안 존재하던 격차를 해결한다.

ABSTRACT

In this paper we prove the $\pm$-main conjecture of Iwasawa theory formulated by Kobayashi for elliptic curves with supersingular reduction at an odd prime $p$ such that $a_p=0$, using a key new observation that it can be reduced to another Iwasawa-Greenberg main conjecture, which is more accessible and proved here as a first step. Then we develop some generalized $\pm$ local theory and deduce the main conjecture. The argument uses in an essential way the recent study on explicit reciprocity law for Beilinson-Flach elements by Kings-Loeffler-Zerbes. We also prove as corollaries the $p$-part of the BSD formula at supersingular primes when the analytic rank is $0$ or $1$. The main result enables us to present in the Appendix a number of explicit infinite families of elliptic curves without complex multiplications for which we can now prove the full Birch-Swinnerton-Dyer conjecture. No such infinite families of curves without complex multiplication were known previously.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 $p$-진 $L$-함수가 유계가 되지 않는, 홀수 소수 $p$에서 $a_p = 0$인 초순수 타원곡선에 대한 Iwasawa 이론의 격차를 메우기 위해.
• Eisenstein 동치관계를 $ \mathrm{U}(3,1)$ 상에서 사용하여 초순수 경우를 보편적인 경우로 환원함으로써, 초순수 상황에서의 Iwasawa 주요 추측을 수립하기 위해.
• 주요 추측과 제어 정리들을 이용하여, 초순수 소수에서 해석적 순서 0 또는 1인 경우의 BSD 공식의 $p$-부분을 증명하기 위해.
• 기존에 알려진 유한 집합을 초월하여, 전체 BSD 추측을 만족하는 비-CM 타원곡선의 명시적 무한 가족을 구성하기 위해.

제안 방법

• Unitary 군 $ \mathrm{U}(3,1)$ 상에서의 Eisenstein 동치관계를 기반으로 한 전략을 통해 비일반적인 Iwasawa 주요 추측을 보편적인 것으로 환원한다.
• Kings-Loeffler-Zerbes의 Beilinson-Flach 원소에 대한 명시적 상호작용 법칙을 적용하여 $p$-진 $L$-함수와 Selmer 군을 연결한다.
• Pollack와 Kobayashi가 도입한 $\pm$-Selmer 군과 $\pm$-p-진 $L$-함수를 사용하여 초순수 경우를 다룬다.
• Kato와 Skinner-Urban의 오일러 시스템 및 Eisenstein 동치관계 결과를 활용하여 주요 추측의 한 방향의 약수 관계를 확립한다.
• 삼중 곱 $p$-진 $L$-함수와 Finis의 결과를 적용하여, 특정 Beilinson-Flach 원소들이 Iwasawa 대수에서 단위임을 보인다.
• 제어 정리와 주기 비교를 사용하여 $p$-진 $L$-함수 주기와 BSD 공식의 Néron 주기 간의 일치를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 소수 $p$에서 $a_p = 0$인 초순수 타원곡선에 대해 Iwasawa 주요 추측을 증명할 수 있는가?
• RQ2 무한한 비-CM 타원곡선의 가족에 대해 전체 Birch 및 Swinnerton-Dyer 추측을 증명할 수 있는가?
• RQ3 Eisenstein 동치관계를 통해 비일반적인 Iwasawa 이론 문제를 접근 가능한 보편적인 Iwasawa 이론으로 환원할 수 있는가?
• RQ4 Beilinson-Flach 원소에 대한 명시적 상호작용 법칙을 어떻게 활용하여 초순수 경우의 $p$-진 $L$-함수와 Selmer 군을 연결할 수 있는가?
• RQ5 어떤 조건이 초순수 소수에서 타원곡선의 이차 변형에 대해 BSD 공식의 $p$-부분이 성립하도록 보장하는가?

주요 결과

• 홀수 소수 $p$에서 $a_p = 0$인 초순수 타원곡선에 대해 Iwasawa 주요 추측이 증명되었으며, 이는 $\pm$-쌍대 Selmer 군의 특성 이상이 $\pm$-p-진 $L$-함수에 의해 생성됨을 보여준다.
• 주요 추측을 가정할 경우, 초순수 소수에서 해석적 순서 0 또는 1인 경우의 BSD 공식의 $p$-부분이 증명된다.
• 전체 BSD 추측이 성립하는 비-CM 타원곡선의 명시적 무한 가족이 구성되었으며, 이는 양의 밀도를 가진 소수의 제곱-free 곱으로 이루어진 이차 변형을 포함한다.
• 이전에 알려진 비-CM 타원곡선 중 전체 BSD 추측을 만족하는 집합을 유한한 수에서 무한한 수로 확장하였으며, 46a1, 69a1, 77c1, 114b1 등의 곡선을 포함한다.
• 이 방법을 통해 $p$-진 $L$-함수 주기의 제어가 가능하며, 주기 비교 정리들을 통해 Néron 주기와 일치시켜 BSD 공식의 타당성을 검증한다.
• 증명은 반구면 $\mu$-항의 영성과 Iwasawa 대수 내에서 Beilinson-Flach 원소의 단위성에 의존하며, 이는 삼중 곱 $p$-진 $L$-함수를 통해 확인된다.